Binomische Formeln einfach erklärt: Beispiele und Übungen

Ein Term ist ein Rechenausdruck aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen, zum Beispiel 3x + 2. Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl, meist ein Buchstabe wie x oder a. Ein Binom ist ein Term aus genau zwei Gliedern, zum Beispiel a + b oder x − 4.

Die binomischen Formeln sagen dir, was herauskommt, wenn du solche Binome malnimmst. Malnehmen heißt in der Mathematik multiplizieren. Statt jede Klammer Stück für Stück auszurechnen, setzt du einfach in die passende Formel ein. Das spart Zeit und schützt vor Fehlern.

Es gibt genau drei binomische Formeln. Du brauchst sie, um Terme zu vereinfachen und Gleichungen zu lösen. Später helfen sie dir bei quadratischen Gleichungen und Funktionen. Sogar beim Kopfrechnen sind sie praktisch, wie du weiter unten siehst. In welcher Klasse sie in der Schule drankommen, regelt jedes Bundesland selbst. Meist ist es dann, wenn ihr mit Termen und Klammern rechnet.

Die erste binomische Formel heißt auch Plus-Formel:

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Das kleine ² heißt „hoch 2“ und bedeutet: mal sich selbst. (a + b)² ist also (a + b) · (a + b). Beim Ausmultiplizieren nimmst du jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer mal:

(a + b) · (a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b²

Das ab kommt also zweimal vor. Darum steht in der Mitte 2ab. Dieses Mittelglied heißt auch gemischtes Glied.

Beispiel 1: (x + 3)². Hier ist a = x und b = 3.

• a² = x²
• 2ab = 2 · x · 3 = 6x
• b² = 3² = 9
• Ergebnis: (x + 3)² = x² + 6x + 9

Beispiel 2: (2x + 5)². Hier ist a = 2x, also das ganze erste Glied mit der Zahl davor.

• a² = (2x)² = 4x²
• 2ab = 2 · 2x · 5 = 20x
• b² = 5² = 25
• Ergebnis: 4x² + 20x + 25

Stell dir ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b vor. Seine Fläche ist (a + b)². Teilst du das Quadrat auf, entstehen vier Stücke. Das sind ein großes Quadrat mit der Fläche a² und ein kleines Quadrat mit der Fläche b². Dazu kommen zwei gleich große Rechtecke mit der Fläche a · b. Zusammen ergibt das a² + 2ab + b². So kannst du dir die Herleitung der Formel auch ohne Rechnen merken.

Mit Zahlen klappt es genauso. Für a = 3 und b = 2 hat das große Quadrat die Seite 5 und die Fläche 25. Die vier Teile sind 9 + 6 + 6 + 4, und das sind auch 25.

Die zweite binomische Formel ist die Minus-Formel:

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Sie funktioniert wie die erste. Nur das Mittelglied bekommt ein Minus. Am Ende steht trotzdem + b², denn minus mal minus ergibt plus.

Beispiel 1: (x − 4)². Hier ist a = x und b = 4.

• a² = x²
• 2ab = 2 · x · 4 = 8x, mit Minus davor also − 8x
• b² = 4² = 16
• Ergebnis: x² − 8x + 16

Beispiel 2: (3y − 2)² = (3y)² − 2 · 3y · 2 + 2² = 9y² − 12y + 4

Bei der dritten binomischen Formel steht in einer Klammer ein Plus und in der anderen ein Minus. Man nennt sie auch Plus-Minus-Formel:

(a + b) · (a − b) = a² − b²

Hier passiert etwas Praktisches: Das Mittelglied verschwindet. Beim Ausmultiplizieren entstehen − ab und + ab. Die beiden heben sich gegenseitig auf:

(a + b) · (a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b²

Beispiel 1: (x + 5) · (x − 5) = x² − 25

Beispiel 2: (2a + 3) · (2a − 3) = (2a)² − 3² = 4a² − 9

Rechts steht eine Differenz, also eine Minusaufgabe. Darum sagt man auch: Summe mal Differenz ergibt die Differenz der Quadrate. Die Reihenfolge der Klammern ist egal. Auch (a − b) · (a + b) ergibt a² − b².

Die Anwendung ist immer gleich. Erkenne zuerst, welche Formel passt. Dann setzt du ein und rechnest aus. Als Beispiel nehmen wir (3x + 2)².

Hier prüfst du eigene Aufgaben. Wähl die Formel und gib a und b ein. Der Rechner zeigt dir jeden Schritt so, wie du ihn ins Heft schreibst, und macht zum Schluss die Probe. Am meisten lernst du, wenn du erst selbst rechnest und danach vergleichst.

Du kannst die Formeln auch von rechts nach links lesen. Dann machst du aus einer Summe ein Produkt, also eine Malaufgabe. Das heißt faktorisieren. Du brauchst es zum Beispiel, um Bruchterme zu kürzen oder Gleichungen zu lösen.

So gehst du vor:

1. Prüfe, ob das erste und das letzte Glied Quadrate sind. Bei x² + 10x + 25 sind das x² und 25 = 5².
2. Prüfe das Mittelglied: Ist es 2 · a · b? Hier ist 2 · x · 5 = 10x. Passt.
3. Schau auf das Rechenzeichen in der Mitte: Plus heißt 1. Formel, Minus heißt 2. Formel.

Diese Beispiele kannst du dir merken:

• x² + 10x + 25 = (x + 5)²
• x² − 6x + 9 = (x − 3)²
• x² − 49 = (x + 7) · (x − 7), denn 49 = 7². Das ist eine Differenz aus zwei Quadraten ohne Mittelglied.
• 4y² − 1 = (2y + 1) · (2y − 1)

Eine schöne Anwendung im Alltag: Mit den binomischen Formeln rechnest du manche Aufgaben im Kopf schneller als mit dem Taschenrechner. Der Trick: Zerlege die Zahl in eine runde Zahl und einen kleinen Rest.

• 51² = (50 + 1)² = 2.500 + 100 + 1 = 2.601
• 49² = (50 − 1)² = 2.500 − 100 + 1 = 2.401
• 19 · 21 = (20 − 1) · (20 + 1) = 400 − 1 = 399
• 103² = (100 + 3)² = 10.000 + 600 + 9 = 10.609

Zwei Kopfrechen-Aufgaben zum Üben findest du unten bei den Übungen.

Die drei klassischen binomischen Formeln gelten für hoch 2. Für hoch 3 gibt es aber ähnliche Formeln:

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Die Zahlen 1, 3, 3, 1 vor den Gliedern stammen aus dem Pascalschen Dreieck. Darin ist jede Zahl die Summe der beiden Zahlen darüber. Für hoch 4 lautet die Zeile 1, 4, 6, 4, 1. Die allgemeine Regel dahinter heißt binomischer Lehrsatz. Für den Anfang sind aber die drei Formeln mit hoch 2 am wichtigsten.

Jetzt bist du dran. Die Aufgaben werden nach unten hin schwerer. Löse sie zuerst selbst und schau erst dann nach. Was du selbst aus dem Kopf holst, bleibt besser hängen als das, was du nur liest. Mehr dazu steht im Artikel über aktives Abrufen.

Berechne mit den binomischen Formeln:

1. (x + 2)²
2. (y − 5)²
3. (a + 6) · (a − 6)
4. (2x + 3)²
5. (3m − 4)²
6. (x + ½)²

Rückwärts, also faktorisieren:

7. x² + 14x + 49
8. 9y² − 12y + 4
9. 16a² − 25

Im Kopf rechnen:

10. 61² und 38 · 42

1. x² + 2 · x · 2 + 2² = x² + 4x + 4
2. y² − 2 · y · 5 + 5² = y² − 10y + 25
3. a² − 6² = a² − 36
4. (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
5. (3m)² − 2 · 3m · 4 + 4² = 9m² − 24m + 16
6. x² + 2 · x · ½ + (½)² = x² + x + ¼
7. 49 = 7² und 14x = 2 · x · 7. Also: (x + 7)²
8. 9y² = (3y)², 4 = 2² und 12y = 2 · 3y · 2, mit Minus. Also: (3y − 2)²
9. 16a² = (4a)² und 25 = 5², ohne Mittelglied. Also: (4a + 5) · (4a − 5)
10. 61² = (60 + 1)² = 3.600 + 120 + 1 = 3.721. Und 38 · 42 = (40 − 2) · (40 + 2) = 1.600 − 4 = 1.596.

So übst du am besten:

• Formeln laut aufsagen. Sag die drei Formeln jeden Tag einmal auf, auch rückwärts. So prägen sie sich schnell ein.
• Immer mit Klammern einsetzen. Gerade bei 2x oder 3y schützt dich die Klammer vor dem häufigsten Fehler.
• Lieber oft und wenig. Drei Aufgaben am Tag über eine Woche bringen mehr als zwanzig am Abend vorher. Warum das so ist, erklärt der Artikel zu Spaced Repetition.
• Erklär es jemandem. Zeig einer anderen Person, warum in der Mitte 2ab steht. Das ist die Feynman-Technik.
• Spickzettel nutzen. Speicher dir das Bild unten oder lade den Spickzettel als PDF herunter.

Die Arbeit ist schon nächste Woche? Dann hilft dir der Lernplan für 7 Tage. Stehen in deinen Termen Brüche, hilft dir Bruchrechnen einfach erklärt. Und wenn bei euch gerade auch Geometrie dran ist, schau dir den Satz des Pythagoras an.

Hängst du bei einer Aufgabe fest? Dann hilft jemand, der geduldig erklärt. Genau dafür gibt es Lerntwin, eine Lern-App für Schulkinder von Klasse 1 bis 13. Du fotografierst dein Arbeitsblatt und bekommst Übungen genau dazu. Lerntwin fragt nach, statt die Lösung vorzusagen, und erklärt anders, wenn etwas noch nicht sitzt. So funktioniert Lerntwin.