Satz des Pythagoras einfach erklärt: Formel, Beispiele, Aufgaben

Der Satz des Pythagoras ist eine Regel aus der Geometrie. Er gilt für jedes beliebige rechtwinklige Dreieck. Das ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel, also einer Ecke mit genau 90 Grad. So eine Ecke siehst du überall, zum Beispiel an einem Blatt Papier.

In Worten sagt der Satz: Die beiden kleinen Quadrate zusammen sind so groß wie das große Quadrat. Du malst dafür auf jede Seite des Dreiecks ein Quadrat. Dann vergleichst du ihre Flächen. Der Flächeninhalt eines Quadrats ist Seite mal Seite. Bei der Seite a ist das a · a, kurz a².

In der Fachsprache heißt das: Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat. Keine Angst vor den langen Wörtern, gleich erklären wir sie.

Als Formel sieht das so aus:

a² + b² = c²

Das Bild zeigt es an einem Beispiel mit Kästchen. Die Seiten sind 3, 4 und 5 Kästchen lang. Zähl einfach nach: 9 Kästchen plus 16 Kästchen sind 25 Kästchen.

Im rechtwinkligen Dreieck haben die Seiten eigene Namen. Das ist wichtig, denn die Formel klappt nur mit der richtigen Seite.

• Hypotenuse: Das ist die Seite gegenüber vom rechten Winkel. Sie ist immer die längste Seite. In der Formel wird sie mit c bezeichnet.
• Katheten: Das sind die zwei kürzeren Seiten. Sie stoßen im rechten Winkel aneinander. In der Formel heißen sie a und b.

Im Heft ist der rechte Winkel meist mit einem kleinen Bogen und einem Punkt markiert. Such immer zuerst diese Ecke. Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse.

Meist kennst du zwei Seiten und suchst die dritte. Dafür stellst du die Formel um. Es gibt drei Arten von Aufgaben:

Merkhilfe: Ist die lange Seite gesucht, addierst du die Quadrate. Ist eine kurze Seite gesucht, ziehst du ab. Am Ende ziehst du immer die Wurzel. Stimmt die Gleichung, ist das Dreieck rechtwinklig.

Mit diesen Schritten löst du fast jede Aufgabe zum Satz des Pythagoras. Das klappt in der Hausaufgabe und in der Klassenarbeit.

Für den Satz des Pythagoras gibt es sehr viele Beweise. Einer davon kommt fast ohne Rechnen aus. Du brauchst nur vier gleiche Dreiecke und zwei gleich große Quadrate. Jedes Quadrat hat die Seitenlänge a + b.

Im linken Quadrat liegen die vier Dreiecke in den Ecken. In der Mitte bleibt ein schräges Quadrat frei, das ist c². Im rechten Quadrat liegen dieselben Dreiecke anders. Jetzt bleiben zwei Quadrate frei: a² und b².

Beide großen Quadrate sind gleich groß. Die vier Dreiecke haben zusammen auch denselben Flächeninhalt. Also muss der freie Rest links genauso groß sein wie rechts. Das Hypotenusenquadrat c² ist so groß wie die beiden Kathetenquadrate a² und b² zusammen.

Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt. Er war ein griechischer Denker und lebte im 6. Jahrhundert vor Christus. Bekannt war die Regel aber schon viel früher. In Babylon haben Menschen damit schon rund tausend Jahre vorher Längen berechnet. Einen berühmten Beweis schrieb der Mathematiker Euklid in sein Buch „Die Elemente“.

Der Satz des Pythagoras ist nicht nur Schulstoff. Überall, wo ein rechter Winkel steckt, kannst du ihn nutzen. Hier sind vier Beispiele aus dem Alltag.

Handwerker nutzen die Regel sogar umgekehrt. Sie prüfen damit, ob eine Ecke wirklich rechtwinklig ist. Dafür messen sie 60 cm auf der einen Seite und 80 cm auf der anderen. Ist die Strecke dazwischen genau 100 cm, stimmt der Winkel. Das ist die Umkehrung des Satzes: Gilt a² + b² = c², dann hat das Dreieck einen rechten Winkel.

In manchen Klassenarbeiten ist kein Taschenrechner erlaubt. Dann helfen dir zwei Tricks.

Trick 1: Die Zahlen-Teams kennen. Manche Zahlen passen perfekt zusammen. Man nennt sie pythagoreische Tripel. Kommen sie in einer Aufgabe vor, weißt du das Ergebnis sofort.

Auch jedes Vielfache klappt. Aus 3, 4 und 5 wird mal zwei 6, 8 und 10. Mal drei ergibt 9, 12 und 15.

Trick 2: Die Wurzel schätzen. Geht das Ergebnis nicht glatt auf, such die Quadratzahlen daneben. Ein Beispiel ist √65. Es gilt 8² = 64 und 9² = 81. Also liegt √65 zwischen 8 und 9, ganz nah an der 8. Genau sind es etwa 8,06.

Mit Taschenrechner tippst du am besten alles in einem Rutsch ein: √(6² + 8²). Die Klammer ist wichtig. Sonst ziehst du die Wurzel nur aus dem ersten Teil.

Diese Fehler passieren besonders oft. Wenn du sie kennst, sparst du dir in der Klassenarbeit viele Punkte.

Jetzt bist du dran. Die Aufgaben werden von oben nach unten schwerer. Rechne erst selbst und schau dann bei den Lösungen nach. Rechnen und Nachschauen bringt viel mehr als Durchlesen, das zeigt die Forschung zum aktiven Abrufen.

1. Ein Dreieck hat die Katheten a = 5 cm und b = 12 cm. Wie lang ist die Hypotenuse c?
2. Die Hypotenuse ist c = 10 cm lang, eine Kathete a = 6 cm. Wie lang ist b?
3. Die Katheten sind a = 4 cm und b = 7 cm lang. Berechne c auf zwei Stellen nach dem Komma.
4. Sind diese Dreiecke rechtwinklig? a) 7 cm, 24 cm und 25 cm. b) 6 cm, 7 cm und 9 cm.
5. Eine Leiter ist 4 m lang. Ihr Fuß steht 1 m vor der Wand. Wie hoch reicht sie?
6. Ein Quadrat hat die Seitenlänge 5 cm. Wie lang ist seine Diagonale?
7. Ein Handy-Bildschirm ist 6,8 cm breit und 14,7 cm hoch. Wie lang ist die Diagonale in cm und in Zoll?
8. Berechne den Abstand der Punkte A(1|2) und B(4|6).

1. c² = 25 + 144 = 169, also c = 13 cm.
2. b² = 100 − 36 = 64, also b = 8 cm.
3. c² = 16 + 49 = 65, also c ≈ 8,06 cm.
4. a) 49 + 576 = 625 = 25², also ja. b) 36 + 49 = 85. Aber 9² = 81, also nein.
5. Die Leiter ist die Hypotenuse: h² = 16 − 1 = 15, also h ≈ 3,87 m.
6. Die Diagonale teilt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke: d² = 25 + 25 = 50, also d ≈ 7,07 cm.
7. d² = 46,24 + 216,09 = 262,33, also d ≈ 16,2 cm. Geteilt durch 2,54 sind das etwa 6,4 Zoll.
8. Nach rechts 3, nach oben 4: d² = 9 + 16 = 25, also d = 5.

Den Satz des Pythagoras lernst du meist in Klasse 8 oder 9. Wann genau, legt der Lehrplan deines Bundeslands fest. Mit diesen Tipps bist du gut vorbereitet:

• Erklär es jemandem. Wenn du den Satz in eigenen Worten erklären kannst, hast du ihn verstanden. Das ist die Feynman-Technik.
• Übe verteilt. Rechne heute zwei Aufgaben, morgen zwei und in drei Tagen noch mal zwei. Warum das so gut wirkt, steht im Artikel zu Spaced Repetition.
• Plan rückwärts. Steht die Arbeit schon fest, hilft dir ein Plan für 7 Tage.
• Grundlagen auffrischen. Kommen in der Arbeit auch Textaufgaben mit Zuordnungen dran, wiederhol vorher den Dreisatz.
• Nicht verwechseln. a² + b² beim Pythagoras ist etwas anderes als (a + b)². Den Unterschied zeigen dir die binomischen Formeln.
• Nimm den Spickzettel. Speicher dir das Bild unten oder lade den Spickzettel als PDF herunter.

Hakt es noch an einer Stelle? Dann hilft Übung mit jemandem, der geduldig erklärt. Genau dafür gibt es Lerntwin. Der KI-Lernzwilling kennt den Lehrplan deines Bundeslands. Er fragt nach, statt die Lösung vorzusagen, und übt mit dir genau die Aufgaben, bei denen du hängst. So funktioniert Lerntwin.