Bruchrechnen einfach erklärt: Regeln, Beispiele und Rechner

Ein Bruch beschreibt einen Teil von einem Ganzen. Teilst du eine Pizza in 4 gleiche Stücke und nimmst 3 davon, hast du drei Viertel der Pizza. Als Bruch schreibst du das so: 3/4.

Ein Bruch hat drei Teile:

• Der Zähler steht oben. Er zählt, wie viele Teile du hast, hier 3.
• Der Nenner steht unten. Er nennt, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt ist, hier 4.
• Der Bruchstrich steht dazwischen. Er bedeutet nichts anderes als „geteilt durch“. 3/4 ist also dasselbe wie 3 : 4.

Je größer der Nenner, desto kleiner sind die Stücke. Ein Achtel ist kleiner als ein Viertel. Das merkst du spätestens, wenn die Pizza in acht statt in vier Stücke geschnitten ist.

Bevor du mit Brüchen rechnest, brauchst du zwei Werkzeuge: Erweitern und Kürzen. Bei beiden bleibt der Wert des Bruchs gleich. Nur die Zahlen ändern sich.

Erweitern heißt: Du nimmst Zähler und Nenner mit derselben Zahl mal. Aus 3/4 wird mit 2 erweitert 6/8. Die Pizza ist dann in acht Stücke geteilt, und du hast sechs davon. Das ist genauso viel wie drei Viertel.

Kürzen heißt: Du teilst Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl. Aus 6/8 wird mit 2 gekürzt wieder 3/4. Ein Bruch ist vollständig gekürzt, wenn Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben.

Am schnellsten kürzt du mit dem größten gemeinsamen Teiler, kurz ggT. Beispiel 12/18: Die 12 und die 18 lassen sich beide durch 6 teilen. Der ggT ist also 6. Dann gilt 12/18 = 2/3. Findest du den ggT nicht sofort, kürzt du in kleinen Schritten, erst durch 2, dann durch 3, bis es nicht mehr geht.

Brüche addieren und subtrahieren klappt nach derselben Regel. Bei der Addition und der Subtraktion kommt es auf die Nenner an. Sind sie gleich, nennt man die Brüche gleichnamig. Dann ist es ganz einfach: Du rechnest nur mit den Zählern, der Nenner bleibt. Beispiel: 2/7 + 3/7 = 5/7. Zwei Siebtel plus drei Siebtel sind fünf Siebtel, so wie zwei Äpfel plus drei Äpfel fünf Äpfel sind.

Sind die Nenner verschieden, heißen die Brüche ungleichnamig. Dann machst du sie zuerst gleichnamig. Dafür suchst du einen gemeinsamen Nenner. Am besten nimmst du den kleinsten, den Hauptnenner. Das ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, kurz kgV. So addierst du 1/2 + 1/3:

Willst du Brüche subtrahieren, gehst du genauso vor, nur mit Minus. Beispiel: 3/4 − 1/6. Der Hauptnenner von 4 und 6 ist 12. Aus 3/4 wird 9/12, aus 1/6 wird 2/12. Dann rechnest du 9/12 − 2/12 = 7/12.

Die Multiplikation ist überraschend einfach. Um Brüche zu multiplizieren, brauchst du keinen gemeinsamen Nenner. Die Regel lautet: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. Der Zähler wird also mit dem Zähler multipliziert und der Nenner mit dem Nenner.

Beispiel: 2/3 · 3/4 = (2 · 3)/(3 · 4) = 6/12. Gekürzt sind das 1/2.

Schneller geht es, wenn du vor dem Multiplizieren kürzt. Das nennt man über Kreuz kürzen. Du kürzt einen Zähler mit dem Nenner des anderen Bruchs. Bei 2/3 · 3/4 kürzt du die 3 oben mit der 3 unten und die 2 oben mit der 4 unten. Übrig bleibt 1/1 · 1/2 = 1/2. Die Zahlen bleiben so klein, und du verrechnest dich seltener.

Eine ganze Zahl schreibst du als Bruch mit dem Nenner 1. Dann gilt zum Beispiel 3/5 · 2 = 3/5 · 2/1 = 6/5. Das ist ein unechter Bruch, also mehr als ein Ganzes.

Steht in einer Textaufgabe das Wort „von“, heißt das meist „mal“. Die Hälfte von 3/4 ist 1/2 · 3/4 = 3/8.

Für das Dividieren gibt es einen Trick. Statt zwei Brüche zu dividieren, multiplizierst du. Du drehst den zweiten Bruch um und nimmst dann mal. Den umgedrehten Bruch nennt man Kehrwert. Der Kehrwert von 3/8 ist 8/3.

Beispiel: 3/4 : 3/8 = 3/4 · 8/3 = 24/12 = 2.

Das Ergebnis ist größer als beide Brüche. Das wirkt erst seltsam, ergibt aber Sinn. Die Frage lautet ja: Wie oft passen drei Achtel in drei Viertel? Genau zweimal.

Das klappt auch mit ganzen Zahlen. 2 : 1/4 = 2 · 4/1 = 8. In 2 Pizzen stecken also 8 Viertel.

Hier prüfst du eigene Aufgaben. Trag zwei Brüche ein, auf Wunsch auch als gemischte Zahl, und wähl die Rechenart. Der Rechner zeigt dir jeden Schritt so, wie du ihn ins Heft schreibst: Hauptnenner, Erweitern, Rechnen und Kürzen. Am meisten lernst du, wenn du zuerst selbst rechnest und danach vergleichst.

Eine gemischte Zahl besteht aus Ganzen und einem Bruch, etwa 2 ¾. Zum Rechnen wandelst du sie zuerst in einen unechten Bruch um. Du nimmst die Ganzen mal den Nenner und zählst den Zähler dazu: 2 · 4 + 3 = 11. Der Nenner bleibt. Also gilt 2 ¾ = 11/4.

Zurück geht es mit Teilen mit Rest. 11 : 4 = 2 Rest 3. Die 2 sind die Ganzen, der Rest kommt in den Zähler. So wird aus 11/4 wieder 2 ¾.

Mit diesen beiden Schritten rechnest du auch schwierigere Aufgaben. Beispiel: 2 ¾ − 1 ⅚. Als unechte Brüche sind das 11/4 − 11/6. Der Hauptnenner ist 12, also 33/12 − 22/12 = 11/12.

Weil der Bruchstrich „geteilt durch“ bedeutet, wird aus jedem Bruch eine Dezimalzahl. Du teilst einfach den Zähler durch den Nenner: 3/4 = 3 : 4 = 0,75.

Manchmal geht es noch leichter. Kannst du den Bruch auf den Nenner 10, 100 oder 1000 erweitern, liest du die Dezimalzahl direkt ab. 2/5 = 4/10 = 0,4.

Bei manchen Brüchen hört die Dezimalzahl nie auf. 1/3 = 0,333… Die 3 wiederholt sich immer weiter. So eine Zahl heißt periodisch.

Haben zwei Brüche den gleichen Nenner, ist der mit dem größeren Zähler größer. 5/8 ist also größer als 3/8.

Haben sie den gleichen Zähler, ist der mit dem kleineren Nenner größer. 1/3 ist größer als 1/4, denn Drittel sind größere Stücke als Viertel.

Sind Zähler und Nenner verschieden, machst du die Brüche zuerst gleichnamig. Beispiel: Was ist größer, 3/5 oder 5/8? Der Hauptnenner von 5 und 8 ist 40. Dann gilt 3/5 = 24/40 und 5/8 = 25/40. Also ist 5/8 ein kleines bisschen größer. Du kannst beide auch in Dezimalzahlen umwandeln: 0,6 ist kleiner als 0,625.

Alle Regeln findest du auch auf unserem Spickzettel. Speicher dir das Bild oder lade den Spickzettel als PDF zum Ausdrucken herunter.

Jetzt bist du dran. Die Aufgaben werden nach unten hin schwerer. Rechne zuerst selbst und schau erst dann nach. Was du selbst aus dem Kopf holst, bleibt besser hängen, als wenn du nur liest. Warum das so ist, erklärt der Artikel über aktives Abrufen.

1. Kürze 15/25 vollständig.
2. Erweitere 2/3 auf den Nenner 12.
3. 3/8 + 1/8 = ?
4. 2/3 + 1/4 = ?
5. 5/6 − 1/4 = ?
6. 4/5 · 15/16 = ?
7. 5/6 : 2/3 = ?
8. 1 ½ + 2 ⅔ = ?

1. Der ggT von 15 und 25 ist 5. 15/25 = 3/5.
2. Von 3 auf 12 nimmst du mal 4. 2/3 = 8/12.
3. Gleichnamig: 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.
4. Hauptnenner 12: 8/12 + 3/12 = 11/12.
5. Hauptnenner 12: 10/12 − 3/12 = 7/12.
6. Über Kreuz kürzen: 4 mit 16 durch 4, 15 mit 5 durch 5. Es bleibt 1/1 · 3/4 = 3/4.
7. Mit dem Kehrwert: 5/6 · 3/2 = 15/12 = 5/4 = 1 ¼.
8. Als unechte Brüche: 3/2 + 8/3 = 9/6 + 16/6 = 25/6 = 4 ⅙.

Wann Brüche drankommen, regelt jedes Bundesland in seinem Lehrplan selbst. Oft beginnt es in Klasse 5 oder 6. Schon in der Grundschule begegnen Kindern einfache Anteile wie die Hälfte oder ein Viertel.

Es lohnt sich, hier dranzubleiben. Eine große Langzeitstudie aus den USA und Großbritannien hat das untersucht. Kinder, die mit etwa zehn Jahren Brüche und das Teilen gut verstanden, waren fünf bis sechs Jahre später besser in Algebra und in Mathe insgesamt. Das galt auch dann, wenn die Forschenden Intelligenz, Arbeitsgedächtnis und das Elternhaus herausgerechnet hatten (Siegler und andere, 2012). Brüche sind also ein Fundament für vieles, was später kommt, vom Dreisatz bis zur Prozentrechnung.

So übst du am besten:

• Mit echten Dingen. Pizza, Schokolade oder ein Messbecher machen Brüche greifbar.
• Oft und wenig. Jeden Tag zwei Aufgaben bringen mehr als zwanzig am Abend vor der Arbeit. Warum, steht im Artikel zu Spaced Repetition.
• Laut erklären. Wer einer anderen Person erklärt, warum man den Kehrwert nimmt, merkt schnell, ob er es verstanden hat.
• Vor der Klassenarbeit planen. Wie du den Stoff auf eine Woche verteilst, zeigt dir unser Plan Klausur in 7 Tagen.

Hakt es bei Brüchen trotzdem, hilft Lerntwin. Es erklärt jeden Schritt noch mal anders, wenn etwas nicht sitzt, und fragt nach, statt die Lösung vorzusagen. So übst du genau die Aufgaben, die gerade bei dir dran sind. So funktioniert Lerntwin.