Dreisatz einfach erklärt: Beispiele, Aufgaben und Spickzettel

Der Dreisatz ist ein Rechenweg aus der Mathematik. Du kennst drei Werte und suchst den vierten. Aus den gegebenen Werten kannst du ihn berechnen. In Österreich heißt er auch Schlussrechnung. Er klappt immer dann, wenn zwei Größen in einem festen Verhältnis zueinander stehen. Eine Größe ist alles, was man zählen oder messen kann, zum Beispiel eine Anzahl, einen Preis, eine Zeit oder eine Strecke.

Der alte Name bedeutet ungefähr „Regel von drei“: Drei Werte sind bekannt, der vierte wird gesucht. Gerechnet wird in drei Schritten:

1. Du schreibst auf, was du weißt.
2. Du rechnest auf eine Einheit um, zum Beispiel auf 1 Heft.
3. Du rechnest auf die gesuchte Menge hoch.

Wichtig ist nur, ob die beiden Größen gleich oder entgegengesetzt wachsen. Davon hängt ab, ob du teilst oder malnimmst. In der Mathematik heißt malnehmen multiplizieren und teilen dividieren. Beides kommt im Dreisatz vor.

Proportional heißt: je mehr, desto mehr. Doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel. In Mathe spricht man von einer proportionalen Zuordnung: Jeder Anzahl wird genau ein Preis zugeordnet. Der Fachbegriff für diesen Zusammenhang ist Proportionalität. So löst du das Beispiel mit den Heften:

Manchmal ist es genau andersherum. Wenn mehr Kinder mithelfen, sind sie schneller fertig. Das heißt antiproportional oder umgekehrt proportional: Doppelt so viele Kinder brauchen nur die Hälfte der Zeit. Das gilt aber nur, wenn alle gleich schnell arbeiten.

Beispiel: 6 Kinder schmücken die Turnhalle in 4 Stunden. Wie lange benötigen 8 Kinder?

Ob es sich um einen proportionalen oder einen antiproportionalen Dreisatz handelt, entscheidest du vor dem ersten Schritt. Stell dir dazu eine Frage: Wenn die eine Größe doppelt so groß wird, was passiert mit der anderen? Wird sie auch doppelt so groß, ist es proportional. Wird sie halb so groß, ist es antiproportional.

Hier prüfst du eigene Aufgaben. Wähl zuerst, wie die beiden Größen zusammenhängen. Dann trägst du ein, was du weißt und was du suchst. Der Rechner zeigt dir jeden Schritt so, wie du ihn ins Heft schreibst. Am meisten lernst du, wenn du erst selbst rechnest und danach vergleichst.

Viele Prozentaufgaben sind ebenfalls ein Dreisatz. Das Ganze sind immer 100 %. Prozente sind übrigens nur Brüche mit dem Nenner 100: 32 % sind 32/100. Wie du mit Brüchen rechnest, zeigt dir Bruchrechnen einfach erklärt.

Beispiel 1: In einer Klasse mit 25 Kindern fahren 8 mit dem Rad zur Schule. Wie viel Prozent sind das?

• 25 Kinder sind 100 %.
• 1 Kind ist 100 % : 25 = 4 %.
• 8 Kinder sind 4 % · 8 = 32 %.

Beispiel 2: Eine Jacke kostet 80 € und ist um 25 % reduziert. Wie viel sparst du?

• 100 % sind 80 €.
• 1 % ist 80 € : 100 = 0,80 €.
• 25 % sind 0,80 € · 25 = 20 €. Die Jacke kostet also nur noch 60 €.

Wenn du sicher bist, kannst du die drei Schritte in einer Rechnung zusammenfassen. Zur Menge a gehört der Wert b. Gesucht ist der Wert x für die Menge c.

Beim proportionalen Dreisatz wird der Wert für eine Einheit also mit der neuen Menge multipliziert. Beim antiproportionalen wird erst multipliziert und dann geteilt. Die Formel spart Zeit. Bist du unsicher, nimm lieber die drei Schritte. Dann siehst du jeden Zwischenwert und findest Fehler schneller.

Eine noch einfachere Form ist der Zweisatz: Kennst du schon den Preis für 1 Heft, brauchst du nur noch einen Schritt. Für 6 Hefte zu je 1,50 € rechnest du direkt 1,50 € · 6 = 9 €.

Den Dreisatz brauchst du nicht nur in Mathe. Er hilft dir überall, wo etwas gleichmäßig mehr oder weniger wird.

• Kochen: Ein Rezept für 4 Personen braucht 300 g Mehl. Für 1 Person sind das 300 g : 4 = 75 g, für 6 Personen 75 g · 6 = 450 g.
• Taschengeld: Du bekommst 10 € in 2 Wochen. In 1 Woche sind das 5 €, in 7 Wochen also 35 €.
• Fahrrad: Für 6 km benötigt Jonas 24 Minuten. Pro Kilometer sind das 4 Minuten, für 9 km also 36 Minuten, wenn er gleich schnell fährt.

Merke dir für jede Aufgabe, was zusammengehört, und schreib es in zwei Spalten. Dann wird aus jedem Textaufgaben-Wirrwarr ein einfacher Dreisatz.

Manchmal hängen mehr als zwei Größen zusammen. Dann hilft der erweiterte Dreisatz, auch zusammengesetzter Dreisatz genannt. Du löst ihn in zwei Runden und änderst pro Runde nur eine Größe.

Beispiel: 4 Maschinen stellen in 6 Stunden 240 Teile her. Wie viele Teile schaffen 6 Maschinen in 5 Stunden?

• Runde 1, Maschinen ändern: 1 Maschine schafft in 6 Stunden 240 : 4 = 60 Teile. 6 Maschinen schaffen in 6 Stunden 60 · 6 = 360 Teile.
• Runde 2, Zeit ändern: In 1 Stunde schaffen die 6 Maschinen 360 : 6 = 60 Teile. In 5 Stunden sind es 60 · 5 = 300 Teile.

Beide Runden sind hier proportional: mehr Maschinen und mehr Zeit bedeuten mehr Teile. Wer eine Runde nach der anderen berechnet, behält auch bei mehreren Größen den Überblick.

Jetzt bist du dran. Die Aufgaben werden nach unten hin schwerer. Löse sie zuerst selbst und schau erst dann nach. Was du selbst aus dem Kopf holst, bleibt besser hängen als das, was du nur liest. Mehr dazu steht im Artikel über aktives Abrufen.

1. 4 Brötchen kosten 2,20 €. Wie viel kosten 7 Brötchen?
2. Ein Auto braucht für 100 km 6 Liter Benzin. Wie viel braucht es für 350 km?
3. 5 Maler streichen eine Halle in 12 Tagen. Wie viele Tage benötigen 6 Maler, wenn alle gleich schnell arbeiten?
4. Ein Futtervorrat reicht für 30 Kaninchen 8 Tage. Wie lange reicht er für 20 Kaninchen?
5. Ben läuft 3 km in 18 Minuten. Wie lange braucht er im gleichen Tempo für 5 km?
6. Ein Zug braucht bei 120 km/h für eine Strecke 3 Stunden. Wie lange braucht er bei 90 km/h?
7. Ein Fahrrad kostet 400 € und ist um 15 % reduziert. Wie viel sparst du, und was kostet es jetzt?
8. Ein Baby wiegt mit 3 Monaten 6 kg. Wie viel wiegt es mit 30 Monaten? Geht das mit dem Dreisatz?

1. 1 Brötchen: 2,20 € : 4 = 0,55 €. 7 Brötchen: 0,55 € · 7 = 3,85 €.
2. 1 km: 6 l : 100 = 0,06 l. 350 km: 0,06 l · 350 = 21 Liter.
3. Antiproportional. 1 Maler: 12 Tage · 5 = 60 Tage. 6 Maler: 60 Tage : 6 = 10 Tage.
4. Antiproportional. 1 Kaninchen: 8 Tage · 30 = 240 Tage. 20 Kaninchen: 240 Tage : 20 = 12 Tage.
5. 1 km: 18 min : 3 = 6 min. 5 km: 6 min · 5 = 30 Minuten.
6. Antiproportional, denn je höher die Geschwindigkeit, desto kürzer die Fahrzeit. Bei 1 km/h: 3 h · 120 = 360 h. Bei 90 km/h: 360 h : 90 = 4 Stunden.
7. 1 %: 400 € : 100 = 4 €. 15 %: 4 € · 15 = 60 € gespart. Neuer Preis: 400 € − 60 € = 340 €.
8. Nein. Babys wachsen nicht gleichmäßig. Mit dem Dreisatz kämen 60 kg heraus, und das ist unmöglich. Hier gibt es keinen festen Zusammenhang.

Wann der Dreisatz drankommt, regelt jedes Bundesland selbst. Du brauchst ihn aber spätestens bei den Zuordnungen und in der Prozentrechnung. So übst du am besten:

• Erst schätzen, dann rechnen. Frag dich vor jeder Aufgabe, ob das Ergebnis größer oder kleiner werden muss.
• Immer dieselbe Tabelle. Links die Menge, rechts der Wert. Wer jedes Mal gleich anfängt, macht weniger Fehler.
• Lieber oft und wenig. Zwei Aufgaben am Tag über eine Woche bringen mehr als zehn am Abend vorher. Warum das so ist, erklärt der Artikel zu Spaced Repetition.
• Erklär es laut. Erkläre einer anderen Person eine Aufgabe in eigenen Worten. Das ist die Feynman-Technik.
• Spickzettel nutzen. Speicher dir das Bild unten oder lade den Spickzettel als PDF herunter.

Du übst gerade auch für die Geometrie? Dann schau dir den Satz des Pythagoras an. Und wenn ihr schon mit Klammern und Termen rechnet, helfen dir die binomischen Formeln.

Hängst du bei einer Aufgabe fest? Dann hilft jemand, der geduldig erklärt. Genau dafür gibt es Lerntwin, eine Lern-App für Schulkinder von Klasse 1 bis 13. Du fotografierst dein Arbeitsblatt und bekommst Übungen genau dazu. Lerntwin fragt nach, statt die Lösung vorzusagen, und erklärt anders, wenn etwas noch nicht sitzt. So funktioniert Lerntwin.