Rationale Zahlen: Regeln, Beispiele und 20 Aufgaben

Eine rationale Zahl kannst du als Bruch a/b schreiben. Dabei sind a und b ganze Zahlen. Der Nenner b darf nicht null sein. Das Symbol für diese Zahlenmenge ist ℚ. Oben im Bruch steht der Zähler. Unten steht der Nenner.

Zum Beispiel gehören −4, 0, 3/4 und 1,5 dazu. Auch eine ganze Zahl ist rational: −4 lässt sich als −4/1 schreiben. Die Null kannst du als 0/1 darstellen. Der Bruchstrich bedeutet „geteilt durch“. Ein Nenner von null wäre also eine Division durch null. Das ist nicht erlaubt.

Bei Dezimalzahlen gibt es zwei passende Formen. Die Zahl kann endlich sein, etwa 0,75. Oder sie ist periodisch: Eine Ziffer oder Zifferngruppe wiederholt sich endlos. So ist 1/3 gleich 0,333… mit immer weiteren Dreien. Eine solche Zahl hat unendlich viele Nachkommastellen und ist trotzdem rational.

Nicht jede Zahl gehört zu ℚ. Zum Beispiel sind π und √2 irrationale Zahlen. Sie lassen sich nicht als Bruch aus zwei ganzen Zahlen schreiben. Ihre Dezimaldarstellung endet nicht und ist nicht periodisch. Rationale und irrationale Zahlen gehören zusammen zu den reellen Zahlen. Für die Rechnungen hier brauchst du nur die rationalen Zahlen.

Die ganzen Zahlen heißen …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Ihr Symbol ist ℤ. Sie haben keinen Bruchteil. Alle natürlichen Zahlen gehören dazu. Auch ihre negativen Gegenzahlen und die Null sind ganze Zahlen. Ob die Null bei den natürlichen Zahlen mitgezählt wird, hängt von der vereinbarten Schreibweise ab.

Jede ganze Zahl ist rational. Umgekehrt gilt das nicht: 1/2 ist rational, aber nicht ganz. Die Schreibweise sagt noch nicht alles über die Zahlenart aus. Der Bruch 6/3 hat den Wert 2. Er stellt daher auch eine ganze Zahl dar.

Auf der Zahlengeraden werden Zahlen als Punkte dargestellt. Von links nach rechts werden sie größer. Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegen unendlich viele weitere rationale Zahlen. Negative Zahlen liegen links von null. Positive Zahlen liegen rechts davon. Null ist weder positiv noch negativ. Aus dem Zahlenstrahl für nichtnegative Zahlen wird so eine Gerade in beide Richtungen.

Vergleiche −7 und −2. Die Zahl −2 liegt weiter rechts. Deshalb gilt −7 < −2. Bei negativen Zahlen bedeutet ein größerer Abstand zur Null also einen kleineren Wert.

Der Betrag ist genau dieser Abstand zur Null. Man schreibt ihn mit zwei Strichen: |−3,5| = 3,5. Ein Abstand kann nicht negativ sein. Die Gegenzahl liegt auf der anderen Seite der Null im selben Abstand. Die Gegenzahl von −3,5 ist 3,5. Die Gegenzahl von 3,5 ist −3,5. Zahl und Gegenzahl ergeben zusammen null.

In der Rechnung −3 − (−5) siehst du drei Minuszeichen. Sie haben nicht alle dieselbe Aufgabe. Das erste gehört zur Zahl −3. Es ist ein Vorzeichen. Das mittlere Minus sagt, was du tun sollst: subtrahieren. Es ist ein Rechenzeichen. Das letzte Minus gehört zur Zahl −5.

Die Klammer macht klar, welche Zahl abgezogen wird. Lies langsam: „Minus drei minus die Zahl minus fünf.“ Schreibe negative Zahlen nach einem Rechenzeichen am Anfang lieber in Klammern. So vermeidest du, dass Vorzeichen und Rechenzeichen verschwimmen.

Ein Plus als Vorzeichen wird oft weggelassen. Statt +5 schreiben wir meist 5. In −3 + 5 steht das Plus zwischen den Zahlen jedoch für die Addition. Frage bei jeder Aufgabe zuerst: Welche Zahlen stehen da? Welche Rechenart verbindet sie? Erst dann wählst du die passende Regel.

Beim Addieren fasst du zwei Zahlen zu einer Summe zusammen. Auf der Zahlengeraden hilft diese Bewegung: Eine positive Zahl schickt dich nach rechts. Eine negative Zahl schickt dich nach links.

Beispiel: −3 + 5 = 2. Starte bei −3. Gehe fünf Schritte nach rechts. Du landest bei 2. Genau so funktioniert das Temperaturbeispiel: Von −3 °C aus wird es um 5 °C wärmer. Am Ende sind es 2 °C.

Gleiche Vorzeichen: Addiere die Beträge. Behalte das gemeinsame Vorzeichen. Bei −3 + (−5) rechnest du zunächst 3 + 5. Beide Zahlen sind negativ. Deshalb lautet das Ergebnis −8. Zwei negative Zahlen werden beim Addieren nicht positiv.

Verschiedene Vorzeichen: Ziehe den kleineren Betrag vom größeren ab. Nimm das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Bei −8 + 3 vergleichst du 8 und 3. Die Differenz ist 5. Der größere Betrag gehört zur negativen Zahl. Das Ergebnis ist also −5.

Sind die Beträge gleich und die Vorzeichen verschieden, ist die Summe null. Zum Beispiel ergibt −5 + 5 genau 0. Plus null verändert eine Zahl nicht. Diese Sonderfälle passen zur Zahlengeraden: Du kommst zur Null zurück oder bleibst stehen.

Zum Subtrahieren brauchst du keine neue Liste voller Fälle. Eine Zahl abziehen heißt, ihre Gegenzahl zu addieren. Als Regel: a − b = a + (−b). Das gilt für positive und negative Zahlen.

Nimm −3 − (−5). Die Zahl, die du abziehst, ist −5. Ihre Gegenzahl ist +5. Aus der Rechnung wird −3 + 5 = 2.

Bei −3 − 5 ziehst du dagegen die positive Zahl 5 ab. Ihre Gegenzahl ist −5. Also rechnest du −3 + (−5) = −8.

Gehe immer in zwei Schritten vor:

1. Ersetze das Rechenzeichen Minus durch Plus.
2. Ersetze nur die abgezogene Zahl durch ihre Gegenzahl.

Die erste Zahl bleibt dabei gleich. Schreibe den Zwischenschritt hin, bis du sicher bist. Nur schnell „zwei Minus werden Plus“ zu sagen, reicht nicht. Du musst sehen, welche Zeichen zusammengehören.

Bei einer Multiplikation heißen die Zahlen Faktoren. Das Ergebnis heißt Produkt. Für zwei Faktoren, die beide nicht null sind, gilt: Gleiche Vorzeichen ergeben ein positives Produkt. Verschiedene Vorzeichen ergeben ein negatives Produkt.

Rechne zuerst ohne Vorzeichen mit den Beträgen. Setze danach das passende Vorzeichen davor. Bei (−3) · (−4) ergibt 3 · 4 den Wert 12. Beide Faktoren sind negativ. Das Produkt ist deshalb 12. Bei (−3) · 4 sind die Vorzeichen verschieden. Das Ergebnis ist −12.

Warum passt „Minus mal Minus ergibt Plus“? Schau auf eine Reihe mit dem festen Faktor −3. Der zweite Faktor wird jeweils um eins kleiner:

• (−3) · 2 = −6
• (−3) · 1 = −3
• (−3) · 0 = 0
• (−3) · (−1) = 3
• (−3) · (−2) = 6

Das Ergebnis wächst in dieser Reihe jedes Mal um drei. Die Vorzeichenregel setzt dieses Muster fort und passt zu den Rechengesetzen.

Ist ein Faktor null, wird das ganze Produkt null. Bei mehr als zwei Faktoren kannst du nacheinander rechnen. Oder du zählst die negativen Faktoren: Eine gerade Anzahl ergibt positiv, eine ungerade negativ. Das gilt nur, wenn kein Faktor null ist.

Bei der Division teilst du eine Zahl durch eine andere. Die erste Zahl heißt Dividend. Der Teiler heißt Divisor. Das Ergebnis heißt Quotient. Für Zahlen ungleich null gilt dieselbe Vorzeichenregel wie bei Mal: gleiche Vorzeichen positiv, verschiedene negativ.

(−12) : (−3) = 4. Beide Vorzeichen sind gleich. Zur Probe rechnest du 4 · (−3) = −12. So erhältst du die erste Zahl zurück.

12 : (−3) = −4. Die Vorzeichen sind verschieden. Die Probe lautet (−4) · (−3) = 12.

Null geteilt durch eine Zahl ungleich null ergibt null. Aber durch null darfst du nicht teilen. Bei 5 : 0 würdest du eine Zahl suchen, die mal null fünf ergibt. Das schafft keine Zahl. Auch 0 : 0 ist nicht definiert: Jede Zahl mal null ergibt null. Es gäbe daher kein eindeutiges Ergebnis.

Prüfe den Teiler auch dann, wenn er in einer Klammer steht. Ein Ausdruck wie 8 : (3 − 3) enthält eine Division durch null. Rechne ihn nicht einfach weiter.

Ein Minus vor dem Bruch gehört zum ganzen Bruch. Die Schreibweisen −3/4 und (−3)/4 meinen dieselbe Zahl. Halte den Nenner zum Üben positiv. Dann erkennst du das Vorzeichen sofort.

Addieren: Bringe die Brüche zuerst auf denselben Nenner. Bei −3/4 + 1/2 erweiterst du 1/2 zu 2/4. Jetzt rechnest du nur die Zähler: −3/4 + 2/4 = −1/4. Der Nenner bleibt 4.

Subtrahieren: Wandle Minus zuerst in die Addition der Gegenzahl um. Aus −3/4 − (−1/2) wird −3/4 + 1/2. Daher ist auch hier das Ergebnis −1/4. Wäre der zweite Bruch positiv, würde eine andere Aufgabe entstehen.

Multiplizieren: Multipliziere Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner. Kürze gemeinsame Faktoren möglichst vorher. Bei (−2/3) · (−9/4) wird das Ergebnis positiv. Du rechnest 18/12 und kürzt zu 3/2.

Dividieren: Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Für den Kehrwert vertauschst du Zähler und Nenner. Das Vorzeichen bleibt gleich. So wird aus (−3/4) : (−1/2) die Rechnung (−3/4) · (−2/1). Das ergibt 6/4 = 3/2.

Drehe beim Teilen also nur den zweiten Bruch um. Die Null hat keinen Kehrwert. Wenn dir Erweitern und Kürzen noch schwerfallen, beginne mit unseren Grundlagen der Bruchrechnung. Dort kannst du Rechnungen auch mit dem Brüche-Rechner prüfen.

Die Rechenregeln und Vorzeichenregeln bleiben bei Kommazahlen gleich. Achte zusätzlich auf die Stellen nach dem Komma. Beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren schreibst du die Kommas untereinander. Du darfst am Ende Nullen ergänzen: −2,4 und −2,40 sind dieselbe Zahl.

Addition: −2,4 + (−1,6) = −4. Die Beträge ergeben zusammen 4. Beide Zahlen sind negativ.

Subtraktion: −2,4 − (−1,6) = −2,4 + 1,6 = −0,8. Ziehe 1,6 von 2,4 ab. Der größere Betrag gehört zu −2,4.

Multiplikation: (−1,2) · 0,5 = −0,6. Die Hälfte von 1,2 ist 0,6. Die Vorzeichen sind verschieden. Beim schriftlichen Rechnen kannst du zuerst 12 · 5 rechnen. Zusammen haben die Faktoren zwei Nachkommastellen. Aus 60 wird deshalb 0,60.

Division: 4,5 : (−1,5) = −3. Multipliziere beide Zahlen mit zehn. So erhältst du 45 : (−15). Der Quotient bleibt gleich. Verschiebe das Komma nie nur bei einer der beiden Zahlen.

Bei einer Mischung aus Brüchen und Dezimalzahlen hilft eine gemeinsame Schreibweise. Zum Beispiel ist −1,5 gleich −3/2. Wähle die Form, in der die Berechnung übersichtlich bleibt. Runde während einer exakten Rechnung nicht unnötig.

Die Reihenfolge macht einen großen Unterschied. Rechne zuerst die innersten Klammern. Danach kommen Multiplikation und Division. Zum Schluss folgen Addition und Subtraktion. Innerhalb derselben Stufe rechnest du von links nach rechts. Falls Potenzen vorkommen, stehen sie nach den Klammern und vor Mal und Geteilt.

Vergleiche diese zwei Aufgaben:

• −2 + 3 · (−4): Zuerst 3 · (−4) = −12. Dann −2 + (−12) = −14.
• (−2 + 3) · (−4): Zuerst −2 + 3 = 1. Dann 1 · (−4) = −4.

Bei 18 : (−3) · (−2) sind Teilen und Mal gleichrangig. Rechne von links: 18 : (−3) = −6. Danach (−6) · (−2) = 12. „Punkt vor Strich“ bedeutet also nicht „Mal vor Geteilt“.

Ein Beispiel mit gemischter Darstellung: −1,5 − 3/4 · (−2). Das Produkt ist −3/2, also −1,5. Übrig bleibt −1,5 − (−1,5) = 0.

Auch die bekannten Rechengesetze gelten für rationale Zahlen. Bei der Addition und Multiplikation darfst du die Reihenfolge vertauschen. Das heißt Kommutativgesetz. Du darfst bei reinen Summen und Produkten auch anders klammern. Das heißt Assoziativgesetz. Vorzeichen gehören dabei immer zur jeweiligen Zahl.

Mit dem Distributivgesetz verteilst du einen Faktor auf eine Summe: (−2) · (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5 = −16. Bei Minus und Geteilt darfst du nicht einfach vertauschen. 8 − 3 ist etwas anderes als 3 − 8.

Schreibe bei einer falschen Lösung nicht nur das richtige Ergebnis ab. Markiere die erste Zeile, in der du falsch gerechnet hast. War es das Vorzeichen, die Rechenart, der Nenner oder die Reihenfolge? Rechne danach eine ähnliche Aufgabe mit anderen Zahlen. So prüfst du genau die Regel, die noch unsicher war.

Lege Papier und Stift bereit. Rechne zuerst ohne Taschenrechner. Schreibe bei Minus mit Klammern den Zwischenschritt auf. Die ersten zwei Aufgaben prüfen die Begriffe. Danach folgen alle vier Rechenarten.

1. Welche Zahl ist größer: −7 oder −2?
2. Nenne Gegenzahl und Betrag von −3,5.
3. −6 + 9
4. −6 + (−9)
5. 8 + (−13)
6. −7 − (−10)
7. 4 − (−6)
8. −4 − 6
9. (−7) · (−3)
10. (−36) : 9
11. (−36) : (−9)
12. −1,25 + 0,75
13. −2/3 + 1/6
14. (−3/5) : (−9/10)

Decke nun die Regeln ab. Plane etwa zehn Minuten ein. Das ist eine Übungszeit, keine Vorgabe für eine echte Klassenarbeit. Halte deinen Rechenweg fest. Prüfe die Lösungen erst, wenn du alle Aufgaben versucht hast.

15. −8 − (−3) + 2
16. −2,5 · (−0,4)
17. −3/4 − 1/6
18. −3 + 2 · (−4)
19. (−3 + 2) · (−4)
20. Morgens sind es −4 °C. Die Temperatur steigt um 7 °C. Wie warm ist es danach?

Vergleiche nicht nur das Ergebnis. Prüfe auch den Weg und das Vorzeichen.

1. −2 ist größer. Die Zahl liegt weiter rechts.
2. Gegenzahl 3,5, Betrag 3,5. Der Betrag ist der Abstand zur Null.
3. 3. Von −6 aus gehst du neun Schritte nach rechts.
4. −15. Gleiche Vorzeichen: Beträge addieren, Minus behalten.
5. −5. Die Beträge unterscheiden sich um fünf. Der größere gehört zur negativen Zahl.
6. 3. −7 − (−10) = −7 + 10 = 3.
7. 10. 4 − (−6) = 4 + 6 = 10.
8. −10. −4 − 6 = −4 + (−6) = −10.
9. 21. Gleiche Vorzeichen bei Mal ergeben positiv.
10. −4. Verschiedene Vorzeichen bei Geteilt ergeben negativ.
11. 4. Gleiche Vorzeichen bei Geteilt ergeben positiv.
12. −0,5. Die Beträge unterscheiden sich um 0,5. Der größere gehört zur negativen Zahl.
13. −1/2. Erweitere auf Sechstel: −4/6 + 1/6 = −3/6 = −1/2.
14. 2/3. (−3/5) · (−10/9) = 30/45 = 2/3.
15. −3. −8 + 3 + 2 = −5 + 2 = −3.
16. 1. 2,5 · 0,4 = 1. Beide Faktoren sind negativ, das Produkt ist positiv.
17. −11/12. −9/12 − 2/12 = −11/12.
18. −11. Zuerst 2 · (−4) = −8. Dann −3 + (−8) = −11.
19. 4. Zuerst −3 + 2 = −1. Dann (−1) · (−4) = 4.
20. 3 °C. −4 + 7 = 3.

Willst du noch eine Runde üben? Versuche diese drei Aufgaben. Sie ergänzen die 20 Aufgaben im Arbeitsblatt.

Die drei Aufgaben kannst du auch im Erklärvideo mitrechnen.

• −8 + 3 − (−2)
• (−2,4) : (−0,6)
• −1/2 + 3/4 · (−2)

Lösungen: Die erste Rechnung wird zu −8 + 3 + 2 = −3. Bei der zweiten sind beide Zahlen negativ: 2,4 : 0,6 = 4. Bei der dritten kommt zuerst das Produkt: 3/4 · (−2) = −3/2. Dann rechnest du −1/2 − 3/2 = −4/2 = −2.

Im Kernlehrplan für das Gymnasium in NRW stehen rationale Zahlen, die Zahlengerade und Vorzeichenregeln. Der Lehrplan verlangt auch, Regeln anhand von Beispielen zu begründen. Die genaue Reihenfolge legt die Schule fest. Ein veröffentlichter Plan des Woeste-Gymnasiums behandelt das Rechnen mit rationalen Zahlen in Klasse 7. Die Auswahl deiner Klassenarbeit richtet sich aber nach eurem Unterricht.

Nutze diese drei kurzen Runden:

1. Verstehen: Erkläre den Unterschied zwischen −3 + (−5), −3 − (−5) und (−3) · (−5). Nenne jeweils zuerst die Rechenart.
2. Üben: Löse die Aufgaben 1 bis 14. Markiere zwei Stellen, an denen du noch stockst. Lies nur die dazugehörige Regel erneut.
3. Prüfen: Bearbeite die Mini-Probe ohne Blick auf die Beispiele. Wiederhole die falschen Aufgaben später mit frischem Blatt.

Im PDF mit Merkkarte, Übungen und Lösungen stehen die Lösungen auf eigenen Seiten. So kannst du sie beim Üben beiseitelegen. Schreibe zu jedem Fehler einen eigenen Merksatz. Ein guter Satz wäre: „Beim Minus ersetze ich nur die zweite Zahl durch ihre Gegenzahl.“

Mehr Hilfe zum Planen findest du unter Wie lange vor einer Klassenarbeit lernen?. Mit der Feynman-Technik erklärst du eine Regel in eigenen Worten. Zum Wiederholen kannst du den 7-Tage-Lernplan nutzen.

Mit Lerntwin kannst du passende Aufgaben weiterüben. Die persönliche KI-Lernbegleitung hilft dir beim Erarbeiten und fragt nach deinem Rechenweg. So funktioniert Lerntwin.