Sinus, Kosinus, Tangens: Formeln, Beispiele und 15 Aufgaben

Die Trigonometrie untersucht den Zusammenhang zwischen Winkeln und Seiten. Wir starten mit einem rechtwinkligen Dreieck. Es hat einen Winkel von 90°. Die beiden anderen Winkel sind kleiner als 90°. Einen davon nennen wir α. Das griechische Zeichen liest du „Alpha“.

Nun bekommen die Seiten ihre Namen. Die Hypotenuse H liegt gegenüber dem rechten Winkel. Sie ist die längste Seite. Die zwei kürzeren Seiten heißen Katheten. Welche Kathete welchen Namen trägt, hängt von α ab:

• Die Gegenkathete G liegt gegenüber von α. Sie berührt diesen Winkel nicht.
• Die Ankathete A liegt direkt an α. Sie ist die anliegende Kathete.

Auch die Hypotenuse berührt α. Trotzdem wird sie nie zur Ankathete. Suche deshalb immer zuerst die längste Seite gegenüber von 90°. Markiere erst danach A und G. Wenn du den anderen spitzen Winkel wählst, tauschen A und G ihre Rollen. H bleibt gleich.

Das gilt auch für ein gedrehtes Dreieck. „Unten“ ist kein fester Name für eine Seite. Zeichne den Winkel farbig ein. Dann kannst du jeden Namen direkt am Bild prüfen.

Sinus, Kosinus und Tangens heißen auch Winkelfunktionen. Jeder Funktion gibst du einen Winkel. Du erhältst ein Verhältnis von zwei Seitenlängen. „Verhältnis“ heißt hier: Du teilst die erste Länge durch die zweite. Die Abkürzungen sind sin, cos und tan. Kosinus wird manchmal auch Cosinus geschrieben.

Diese Definition gilt für die spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck:

Im gezeichneten Dreieck sind die Seiten 3, 4 und 5 lang. Für α gilt daher:

• sin(α) = 3/5 = 0,6
• cos(α) = 4/5 = 0,8
• tan(α) = 3/4 = 0,75

Verdoppelst du alle Seiten, bleiben diese Werte gleich. Aus 3/5 wird 6/10. Beide Brüche ergeben 0,6. Das Dreieck wird größer, doch seine Winkel bleiben gleich. Falls dir das Kürzen schwerfällt, hilft dir die Anleitung zum Bruchrechnen.

Lies nicht nur die Zahlen ab. Frage zuerst: Welche Größen sind gegeben? Welche Seite oder welcher Winkel ist gesucht? Du brauchst die Funktion, in der beide passenden Seiten vorkommen. Eine davon darf die gesuchte Seite sein.

Sind Gegenkathete und Hypotenuse beteiligt, nimmst du den Sinus. Bei Ankathete und Hypotenuse passt der Kosinus. Bei den beiden Katheten passt der Tangens. Du musst also nicht jedes Mal alle drei Formeln ausprobieren.

Gegeben sind H = 12 cm und α = 30°. Gesucht ist G. Wir brauchen also den Sinus.

sin(30°) = G/12

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit 12. So steht G allein:

G = 12 · sin(30°) = 6 cm

Die gesuchte Seite ist halb so lang wie die Hypotenuse. Das passt, denn sin(30°) ergibt 0,5.

Jetzt sind A = 7 cm und α = 60° bekannt. Gesucht ist H. Der Kosinus verbindet diese beiden Seiten.

cos(60°) = 7/H

Multipliziere erst mit H. Teile dann durch cos(60°). So erhältst du:

H = 7/cos(60°) = 14 cm

Hier musst du teilen. Einfach immer mit dem Funktionswert zu multiplizieren wäre falsch. Schreibe die Gleichungen deshalb erst mit Buchstaben auf. Die Hypotenuse ist mit 14 cm länger als die Ankathete.

Gegeben sind A = 8 cm und α = 40°. Gesucht ist G. Beide Katheten kommen im Tangens vor.

tan(40°) = G/8

G = 8 · tan(40°) ≈ 6,71 cm

Das Zeichen ≈ bedeutet „ungefähr gleich“. Runde den Wert erst ganz am Ende. Sonst rechnest du mit einem schon ungenauen Zwischenwert weiter.

Kennst du zwei Seiten, kannst du den Winkel berechnen. Dafür brauchst du eine Umkehrfunktion. Sie macht aus dem Seitenverhältnis wieder einen Winkel. Zu sin gehört arcsin, zu cos gehört arccos, zu tan gehört arctan.

Ein Beispiel: G = 5 cm und H = 13 cm. Also ist sin(α) = 5/13. Nun rechnest du:

α = arcsin(5/13) ≈ 22,62°

Viele Taschenrechner schreiben sin⁻¹ statt arcsin. Bei dieser Taste bedeutet die hochgestellte −1 „Umkehrfunktion“. Sie bedeutet hier nicht „1 geteilt durch Sinus“. Suche die Taste in der Anleitung deines Rechners. Die genaue Bedienung hängt vom Modell ab.

Kennst du nur zwei Seiten und suchst die dritte? Dann reicht oft der Satz des Pythagoras. Er verbindet die Seiten ohne Winkelrechnung. Fehlt dagegen ein Winkel, helfen dir die trigonometrischen Funktionen.

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1. Sein Mittelpunkt liegt im Ursprung des Koordinatensystems. Drehe einen Radius um den Winkel α gegen den Uhrzeigersinn. Du beginnst an der positiven waagerechten Achse. Der Punkt am Kreis hat dann zwei Koordinaten: x = cos(α) und y = sin(α).

So lassen sich die Funktionen auch für Winkel außerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks erklären. Bei 90° gilt etwa sin(90°) = 1 und cos(90°) = 0. Tangens ist dort nicht definiert. Denn tan(α) = sin(α)/cos(α) würde durch null teilen.

Für die folgenden Aufgaben brauchst du den Kreis noch nicht. Auch die Additionstheoreme kommen später. Das sind Formeln für Winkelsummen. Übe zuerst die drei Verhältnisse sicher am Dreieck.

Alle Dreiecke dieser Aufgaben sind rechtwinklig. G und A beziehen sich immer auf α. Nutze Zentimeter für Aufgaben 1 bis 11. Runde nötigenfalls auf zwei Nachkommastellen. Zeichne jeweils eine kleine Skizze. Decke die Lösungen zunächst ab.

1. G = 6, A = 8, H = 10. Berechne sin(α).
2. Nutze dasselbe Dreieck. Berechne cos(α).
3. Berechne nun tan(α).
4. H = 14 und α = 30°. Berechne G.
5. H = 10 und α = 60°. Berechne A.
6. A = 9 und α = 45°. Berechne G.
7. G = 4 und α = 30°. Berechne H.
8. A = 6 und α = 60°. Berechne H.
9. G = 3 und A = 4. Berechne α.
10. A = 5 und H = 13. Berechne α.
11. G = 5 und H = 13. Berechne α.
12. Eine 5 m lange Leiter bildet mit dem waagerechten Boden 60°. Wie hoch reicht sie an einer senkrechten Wand?
13. Eine Rampe überwindet 1,2 m Höhe auf 6 m waagerechter Strecke. Wie groß ist ihr Winkel zum Boden?
14. Ein Dreieck hat G = 3, A = 4 und H = 5 bezüglich α. Nun wählst du den anderen spitzen Winkel β. Berechne sin(β).
15. Für α gilt sin(α) = 0,6 und cos(α) = 0,8. Berechne tan(α).

1. sin(α) = 6/10 = 0,6.
2. cos(α) = 8/10 = 0,8.
3. tan(α) = 6/8 = 0,75.
4. G = 14 · sin(30°) = 7 cm.
5. A = 10 · cos(60°) = 5 cm.
6. G = 9 · tan(45°) = 9 cm.
7. H = 4/sin(30°) = 8 cm.
8. H = 6/cos(60°) = 12 cm.

9. α = arctan(3/4) ≈ 36,87°.
10. α = arccos(5/13) ≈ 67,38°.
11. α = arcsin(5/13) ≈ 22,62°.
12. Die Leiter ist H. Die Höhe ist G. Höhe = 5 · sin(60°) ≈ 4,33 m.
13. Höhe und waagerechte Strecke sind die Katheten. α = arctan(1,2/6) ≈ 11,31°.
14. Bei β ist die Seite mit Länge 4 die Gegenkathete. Also sin(β) = 4/5 = 0,8.
15. tan(α) = sin(α)/cos(α). Daher tan(α) = 0,6/0,8 = 0,75.

Lade den Spickzettel zu Sinus, Kosinus und Tangens als PDF herunter. Darauf stehen die drei Formeln, die Seiten im Dreieck und der Gradmaß-Check.

Wähle heute eine Seitenaufgabe und eine Winkelaufgabe. Erkläre laut, warum du genau diese Funktion nimmst. Die Feynman-Technik hilft dir beim Erklären in eigenen Worten. Hängst du beim Umstellen fest, schreib jeden Schritt auf eine neue Zeile. Prüfe dann beide Seiten deiner Gleichung.

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