Primzahlen einfach erklärt: Liste, 20 Aufgaben und PDF

Primzahlen gehören zu den natürlichen Zahlen. Das sind die Zahlen, mit denen du zählst. Ob deine Schule die Null dazunimmt, ändert hier nichts. Eine Primzahl muss größer als 1 sein. Sie hat genau zwei verschiedene positive Teiler: 1 und die Zahl selbst.

Ein Teiler passt ohne Rest in eine Zahl. Bei 12 passt zum Beispiel die 3. Denn 12 : 3 = 4. Auch 2 passt hinein. Alle positiven Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Die Zahl hat mehr als zwei Teiler. Deshalb ist 12 keine Primzahl.

Bei 13 findest du nur 1 und 13. Teile durch 2, 3, 4 und so weiter: Es bleibt ein Rest. Somit ist 13 eine Primzahl. Eine Zahl größer als 1, die nicht prim ist, heißt zusammengesetzte Zahl. Du kannst sie als Produkt zweier kleinerer natürlicher Zahlen schreiben. Beide Faktoren sind dabei größer als 1.

Denk an die Plättchen vom Anfang. Bei 21 gehen drei gleich große Reihen. Denn 21 = 3 · 7. Bei 23 geht nur eine Reihe mit 23 Plättchen. Oder du legst 23 Reihen mit je einem Plättchen. Das sind genau die beiden Teiler 1 und 23.

Für eine Primzahl brauchst du zwei verschiedene positive Teiler. Die 1 hat nur einen: die 1. „Eins und sich selbst“ sind hier dieselbe Zahl. Deshalb zählt sie nicht mit. Auch 0 ist keine Primzahl. Sie ist nicht größer als 1.

Die kleinste Primzahl ist 2. Ihre Teiler sind 1 und 2. Jede größere gerade Zahl hat zusätzlich die 2 als Teiler. Bei 8 sind zum Beispiel 1, 2, 4 und 8 Teiler. Daher kann nur die 2 zugleich gerade und prim sein.

Alle anderen Primzahlen sind ungerade. Aber die Umkehrung ist falsch: Nicht jede ungerade Zahl ist prim. 9 = 3 · 3 und 15 = 3 · 5 sind Gegenbeispiele. Prüfe daher die Teiler. Die letzte Ziffer allein reicht nicht als Beweis.

Bis 100 gibt es 25 Primzahlen. Hier stehen sie nach Bereichen sortiert. Die erste Zeile enthält alle Primzahlen bis 20. Für die Liste bis 50 liest du die ersten drei Zeilen. Die Zahl 100 selbst ist nicht prim. Sie ist unter anderem durch 2, 5 und 10 teilbar.

Du musst die ganze Liste nicht sofort auswendig können. Lerne zunächst die acht Primzahlen bis 20. Nutze sie dann bei den Aufgaben. Für größere Zahlen lernst du einen festen Prüfweg. So kannst du eine Antwort auch begründen.

Du möchtest wissen, ob 97 prim ist? Prüfe mögliche Teiler der Reihe nach. Für Zahlen von 11 bis 100 reichen die Primzahlen 2, 3, 5 und 7. Die folgenden Teilbarkeitsregeln sparen dir Rechnungen:

1. Durch 2 teilbar: Die letzte Ziffer ist 0, 2, 4, 6 oder 8.
2. Durch 3 teilbar: Die Quersumme ist durch 3 teilbar. Für die Quersumme addierst du alle Ziffern.
3. Durch 5 teilbar: Die letzte Ziffer ist 0 oder 5.
4. Durch 7 teilbar: Rechne die Division oder suche ein passendes Vielfaches von 7.

Bei 97 scheitert die 2 schon an der letzten Ziffer. Die Quersumme ist 9 + 7 = 16. Also teilt auch die 3 nicht. Die Zahl endet weder auf 0 noch auf 5. Die benachbarten Vielfachen von 7 sind 91 und 98. Somit passt die 7 ebenfalls nicht. 97 ist eine Primzahl.

Warum musst du nicht bis 96 weiterrechnen? Falls eine Zahl ein Produkt aus zwei Faktoren ist, liegt mindestens einer davon höchstens bei ihrer Quadratwurzel. Die Quadratwurzel von 100 ist 10. Wären beide Faktoren größer als 10, wäre ihr Produkt größer als 100. Bei kleineren Zahlen liegt die Grenze entsprechend tiefer.

Prüfe also alle Primzahlen, deren Quadrat höchstens so groß wie die Zahl ist. „Höchstens“ schließt die Grenze ein. Bei 49 gehört die 7 noch dazu. Denn 7 · 7 = 49. Lässt du genau diesen Test weg, hältst du 49 womöglich für prim. Die 4 oder 6 musst du nicht extra testen. Ein Teiler 4 bringt schon den Teiler 2 mit. Ein Teiler 6 bringt 2 und 3 mit.

Noch ein Beispiel: 91 wirkt auf den ersten Blick wie eine Primzahl. Sie ist ungerade. Ihre Quersumme ist 10. Sie endet nicht auf 5. Doch 91 = 7 · 13. Ein einziger weiterer Teiler genügt, um „nicht prim“ zu beweisen.

Nimm die Zahl 37. Zuerst prüfst du die Definition: Sie ist eine natürliche Zahl über 1. Nun suchst du nach weiteren Teilern. Die 37 endet auf 7. Sie ist also nicht durch 2 teilbar.

Als Nächstes addierst du ihre Ziffern. Die Quersumme ist 3 + 7 = 10. Die 10 ist nicht durch 3 teilbar. Deshalb gilt das auch für 37. Die letzte Ziffer ist weder 0 noch 5. Damit fällt der Teiler 5 ebenfalls weg.

Musst du nun noch die 7 prüfen? Nein. Ihr Quadrat ist 49 und liegt damit über 37. Du kannst aufhören. Dein ganzer Antwortsatz lautet: 37 ist prim, weil kein Primteiler bis zur Quadratwurzel passt.

Schreibe nicht nur „geht nicht“ auf dein Blatt. Notiere den getesteten Teiler und den Grund. So erkennst du später, ob ein Schritt fehlt. In der Mathematik zählt auch der Weg zu deiner Antwort.

Willst du viele Primzahlen bestimmen, hilft ein Sieb. Dabei siebst du zusammengesetzte Zahlen aus. Du brauchst ein Blatt mit den Zahlen 1 bis 100. So geht es:

1. Streiche die 1. Sie ist nach der Definition keine Primzahl.
2. Kreise die 2 ein. Streiche alle größeren Vielfachen von 2: 4, 6, 8 und so weiter.
3. Kreise die nächste freie Zahl ein: 3. Streiche ihre größeren Vielfachen: 6, 9, 12 und so weiter.
4. Mache mit 5 und 7 weiter. Lass jede Primzahl selbst stehen.
5. Behalte alle übrigen freien Zahlen. Das sind die Primzahlen bis 100.

Manche Zahlen streichst du dabei mehrmals. Das macht nichts. Schneller geht es, wenn du bei jeder neuen Primzahl mit ihrem Quadrat anfängst. Bei 5 also mit 25. Die kleineren Vielfachen 10, 15 und 20 wurden schon vorher gestrichen.

Nach der 7 wäre die 11 dran. Doch 11 · 11 = 121 liegt über 100. Alle größeren Vielfachen von 11 bis 100 sind schon gestrichen. Du bist fertig. In der Grafik sind die Primzahlen lila markiert. Vergleiche dein Blatt erst nach dem eigenen Versuch.

Ein Faktor ist eine Zahl in einer Malaufgabe. Bei 6 · 10 = 60 sind 6 und 10 Faktoren. Beide lassen sich weiter zerlegen. Genau das tust du bei der Primfaktorzerlegung. Am Ende dürfen nur noch Primzahlen übrig bleiben.

Wir zerlegen 60 mit einem Baum. Zuerst schreiben wir 60 als 6 mal 10. Dann wird die 6 zu 2 mal 3. Die 10 wird zu 2 mal 5. Alle vier Blätter des Baums sind nun prim. Das Ergebnis lautet 60 = 2² · 3 · 5. Die kleine 2 oben heißt: Der Faktor 2 kommt zweimal vor.

Du könntest auch mit 60 = 3 · 20 anfangen. Das Ergebnis bleibt gleich, wenn du ganz zu Ende zerlegst. Nur die Reihenfolge der Primfaktoren kann anders sein. Prüfe dein Ergebnis durch Ausmultiplizieren. Es muss wieder die Ausgangszahl ergeben.

Genau deshalb wäre es unpraktisch, die 1 als Primzahl mitzuzählen. Du könntest beliebig viele Einsen in das Produkt schreiben. Bei der üblichen Definition ist die Zerlegung bis auf die Reihenfolge eindeutig.

Statt eines Baums kannst du eine Kette von Divisionen schreiben. Wir nehmen 84. Beginne mit der kleinsten Primzahl, die ohne Rest passt. Das ist die 2. Teile so lange durch 2, wie es geht:

84 : 2 = 42

42 : 2 = 21

Bei 21 geht die 2 nicht mehr. Versuche die nächste Primzahl, also 3. Du erhältst 21 : 3 = 7. Die 7 ist selbst prim. Deshalb endet die Zerlegung hier. Sammle die verwendeten Teiler und die letzte Primzahl. Du hast zwei Zweien, eine Drei und eine Sieben.

Das Ergebnis ist 84 = 2² · 3 · 7. Zur Probe rechnest du zuerst 4 mal 3 und danach mal 7. So kommst du zurück auf 84. Schreibe doppelte Faktoren zunächst einzeln auf. Erst dann fasst du sie als Potenz zusammen. So geht keine Zahl verloren.

Ein häufiger Fehler: Nach dem ersten Teilen wird die Ausgangszahl weiter benutzt. Arbeite stets mit dem neuen Ergebnis. Hier teilst du nach 84 durch 2 die 42 weiter. Die Kette zeigt dir, welche Zahl gerade dran ist.

Primfaktoren helfen dir beim Rechnen mit Brüchen. Zwei wichtige Namen sind ggT und kgV. Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler. Das kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache. Wir nehmen 12 und 18 als Beispiel:

12 = 2 · 2 · 3

18 = 2 · 3 · 3

Für den ggT suchst du Faktoren, die beide Zahlen gemeinsam haben. Hier sind das eine 2 und eine 3. Du erhältst 2 · 3 = 6. Damit kannst du 12/18 in einem Schritt kürzen. Teile Zähler und Nenner durch 6. Es bleibt 2/3.

Für das kgV brauchst du genug Faktoren für beide Zahlen. Nimm jeden Primfaktor so oft, wie er in einer der Zahlen höchstens vorkommt. Hier brauchst du zwei Zweien und zwei Dreien. Das ergibt 2² · 3² = 36. Die 36 ist durch 12 und durch 18 teilbar. Sie eignet sich als gemeinsamer Nenner für Zwölftel und Achtzehntel.

Du bist bei Zähler und Nenner noch unsicher? Im Artikel Bruchrechnen einfach erklärt übst du die Rechenarten mit Brüchen. Die Einordnung der Zahlen findest du bei den rationalen Zahlen.

Zwei Primzahlen mit Abstand 2 heißen Primzahlzwillinge. Beispiele sind 3 und 5, 11 und 13 sowie 17 und 19. Die 5 kann sogar zu zwei Paaren gehören: zu 3 und 5 sowie zu 5 und 7.

Und drei Primzahlen im Abstand 2? Solche Primzahldrillinge wären zum Beispiel 3, 5 und 7. Dieses Trio ist das einzige mit genau diesen Abständen. Unter drei ungeraden Zahlen im Abstand 2 ist immer eine durch 3 teilbar. Ist diese Zahl größer als 3, kann sie nicht prim sein.

Es gibt übrigens unendlich viele Primzahlen. Euklid zeigte das schon in der Antike. Die Grundidee: Zu jeder endlichen Liste lässt sich eine weitere Primzahl finden. Multipliziere alle Zahlen der Liste und addiere 1. Das Ergebnis muss nicht selbst prim sein. Es hat aber keinen der gelisteten Primteiler. Somit ist ein neuer Primteiler nötig.

Nimm Papier und Stift. Löse zuerst die Aufgaben 1 bis 10. Sie prüfen die Grundlagen. Bei 11 bis 20 kommen Primfaktoren und gemischte Fragen dazu. Begründe deine Antwort kurz. „Sieht so aus“ reicht bei einem Primzahltest nicht. Decke die Lösungen ab oder drucke das Arbeitsblatt mit Spickzettel als PDF aus.

1. Nenne alle positiven Teiler von 13.
2. Welche sind Primzahlen: 0, 1, 2, 9, 11, 15?
3. Ist 17 eine Primzahl? Begründe.
4. Ist 21 eine Primzahl? Nenne einen Beleg.
5. Ist 49 eine Primzahl? Begründe.
6. Ist 57 eine Primzahl? Nutze die Quersumme.
7. Prüfe 97 mit den Primzahlen 2, 3, 5 und 7.
8. Nenne alle Primzahlen zwischen 60 und 80.
9. Nenne alle Primzahlen bis 20.
10. Streiche im Sieb die größeren Vielfachen von 5 bis 30. Welche Zahl bleibt stehen?
11. Zerlege 24 vollständig in Primfaktoren.
12. Zerlege 60 vollständig in Primfaktoren.
13. Zerlege 84 vollständig in Primfaktoren.
14. Jemand schreibt 45 = 5 · 9 als Primfaktorzerlegung. Was fehlt?
15. Bestimme den ggT von 12 und 18.
16. Bestimme das kgV von 12 und 18.
17. Kürze 18/30 vollständig.
18. Nenne alle Primzahlzwillinge bis 20.
19. Du hast 29 Plättchen. Gehen mehrere gleich große Reihen mit mehr als einem Plättchen je Reihe?
20. „Jede ungerade Zahl größer als 1 ist prim.“ Widerlege den Satz mit einem Beispiel.

1. 1 und 13. Deshalb ist 13 eine Primzahl.
2. 2 und 11. Null und eins sind keine Primzahlen. 9 = 3 · 3; 15 = 3 · 5.
3. Ja. 17 ist weder durch 2 noch durch 3 teilbar. 5 · 5 ist schon größer als 17.
4. Nein: 21 = 3 · 7. Es gibt weitere Teiler außer 1 und 21.
5. Nein: 49 = 7 · 7. Die Prüfung mit 7 darf nicht fehlen.
6. Nein. 5 + 7 = 12 ist durch 3 teilbar. Es gilt 57 = 3 · 19.
7. 97 ist prim. Keine der vier Zahlen teilt 97. Die nächste Primzahl ist 11; 11 · 11 > 97.
8. 61, 67, 71, 73 und 79.
9. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 19.
10. 5 bleibt stehen. Gestrichen werden 10, 15, 20, 25 und 30. Einige waren schon gestrichen.
11. 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2³ · 3.
12. 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.
13. 84 = 2 · 2 · 3 · 7 = 2² · 3 · 7.
14. 9 ist nicht prim. Zerlege weiter: 45 = 3 · 3 · 5.
15. ggT = 6. Gemeinsam sind ein Faktor 2 und ein Faktor 3.
16. kgV = 36. Du brauchst 2² · 3². 36 ist durch 12 und 18 teilbar.
17. 18/30 = 3/5. Teile Zähler und Nenner durch 6.
18. (3, 5), (5, 7), (11, 13) und (17, 19). Ihr Abstand ist jeweils 2.
19. Nein. 29 ist prim. Es gehen nur 1 · 29 oder 29 · 1. Beide erfüllen nicht die ganze Bedingung.
20. Zum Beispiel 9: ungerade, aber 9 = 3 · 3. Auch 15, 21 oder 25 gehen.

Markiere die Aufgaben, bei denen du unsicher warst. War es die Definition? Erkläre an 1, 2 und 9 die Unterschiede. War es die Teilerprobe? Prüfe 49 und 97 noch einmal. War es die Zerlegung? Zeichne den Baum für 60 ohne Vorlage.

Sag deinen Rechenweg laut in eigenen Worten. Das passt zur Feynman-Technik für Schüler. Am nächsten Tag löst du drei der unsicheren Aufgaben erneut. Lass die Lösung dabei verdeckt. Mit Active Recall rufst du den Stoff aktiv aus dem Kopf ab.

Mit Lerntwin kannst du Mathe passend zu deiner Klasse üben. Die persönliche KI-Lernbegleitung hilft dir beim Erarbeiten und fragt nach. So funktioniert Lerntwin.