Baumdiagramm einfach erklärt: Pfadregeln, Beispiele und Aufgaben

Ein Baumdiagramm ist eine Zeichnung für Zufallsexperimente. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, dessen Ausgang du vorher nicht kennst. Beispiele für so ein Experiment sind Würfeln, eine Münze werfen oder eine Kugel aus einem Beutel ziehen.

Oft läuft das Experiment mehrmals hintereinander ab. Du wirfst zum Beispiel eine Münze zweimal. Das nennt man ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Jeder Wurf ist eine Stufe. Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten auf einen Blick. Man nennt es auch Wahrscheinlichkeitsbaum.

Die Teile eines Baumdiagramms haben eigene Namen:

• Knoten: ein Punkt, an dem sich der Baum verzweigt. Ganz links liegt der Start.
• Ast: eine Linie von einem Knoten zum nächsten. Jeder Ast steht für ein mögliches Ergebnis.
• Pfad: ein Weg vom Start bis zu einem Ende. Er hat einen Ast pro Stufe.
• Ergebnis: Am Ende jedes Pfades steht, was insgesamt passiert ist. KZ heißt zum Beispiel „erst Kopf, dann Zahl“.

Bei einer Münze sind Kopf und Zahl gleich wahrscheinlich. An jedem Ast steht deshalb 1/2. Nach zwei Würfen gibt es vier Pfade: KK, KZ, ZK und ZZ. Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit 1/4. Warum das so ist, zeigt dir die 1. Pfadregel.

Bevor du rechnest, brauchst du ein paar Wörter aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie stehen so in fast jedem Schulbuch.

• Ergebnis: ein möglicher Ausgang. Beim Würfeln sind das die Zahlen 1 bis 6. Ereignisse mit nur einem Ergebnis, etwa {6}, heißen Elementarereignisse.
• Ergebnismenge: alle Ergebnisse zusammen. Beim Würfeln ist das {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Ereignis: eine Auswahl von Ergebnissen, die dich interessiert. „Gerade Zahl“ ist das Ereignis {2, 4, 6}.
• Gegenereignis: alle Ergebnisse, die nicht zum Ereignis gehören. Zu „gerade Zahl“ ist das „ungerade Zahl“, also {1, 3, 5}.
• Wahrscheinlichkeit: ein Wert, der angibt, wie sicher ein Ereignis eintritt. Für das Ereignis E schreibt man P(E).

Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen 0 und 1. Die 0 heißt: Das Ereignis ist unmöglich. Die 1 heißt: Es tritt sicher ein. Du kannst sie als Bruch, als Dezimalzahl oder in Prozent schreiben:

Zum Umrechnen teilst du den Zähler durch den Nenner: 1/4 = 1 : 4 = 0,25. Mal 100 ergibt das 25 %. Wie das genau geht, zeigt dir Prozentrechnung einfach erklärt. Das Zeichen ≈ heißt „ungefähr gleich“. Alle Prozentwerte mit ≈ sind gerundet.

Bei vielen Zufallsexperimenten sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich. Beim fairen Würfel hat jede Augenzahl dieselbe Chance. Solche Versuche heißen Laplace-Experimente. Der Mathematiker Laplace hat für sie eine einfache Formel aufgestellt:

Nicht jedes Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment. Ein Glücksrad mit verschieden großen Feldern ist kein solches Experiment. Ist das rote Feld halb so groß wie das ganze Rad, bleibt der Zeiger mit 1/2 auf Rot stehen. Ein blaues Feld von einem Drittel bekommt 1/3, ein gelbes Feld von einem Sechstel 1/6. Zusammen ergibt das wieder 1: 1/2 + 1/3 + 1/6 = 3/6 + 2/6 + 1/6 = 1.

Nicht jede Wahrscheinlichkeit kannst du ausrechnen. Wie oft landet ein Reißnagel mit der Spitze nach oben? Das findest du nur durch ein Experiment heraus. Dabei hilft die relative Häufigkeit. Du teilst, wie oft ein Ergebnis kam, durch die Anzahl aller Versuche. Wirfst du eine Münze 100-mal und bekommst 47-mal Kopf, ist die relative Häufigkeit 47/100 = 0,47 = 47 %.

Bei wenigen Würfen schwankt dieser Wert stark. Je mehr Versuche du machst, desto weniger schwankt er. Er pendelt sich in der Regel um die Wahrscheinlichkeit ein, bei der Münze also um 0,5. Ausreißer gibt es trotzdem. Das nennt man das empirische Gesetz der großen Zahlen. Empirisch heißt: aus der Erfahrung, durch Beobachten. Wie du Häufigkeiten in einer Tabelle auswertest, zeigt der Artikel Mittelwert und Median berechnen.

So erstellst du ein Baumdiagramm für jede Aufgabe. Als Beispiel dient ein Beutel mit 3 roten und 2 blauen Kugeln. Du ziehst eine Kugel, legst sie zurück und ziehst noch einmal.

Ein einstufiges Baumdiagramm hat nur eine Reihe von Ästen. Es passt zu einem einzigen Versuch, zum Beispiel einmal Ziehen. Ab der zweiten Stufe zeigt das Baumdiagramm, was es kann. Im zweistufigen Baumdiagramm hängt an jedem Ast der ersten Stufe ein neuer kleiner Baum. Bei drei Stufen geht es genauso weiter.

Die Anzahl der Pfade wächst schnell. Hat jede Stufe 2 Äste, gibt es nach 2 Stufen 2 · 2 = 4 Pfade. Nach drei Stufen sind es 2 · 2 · 2 = 8 Pfade. Beim Würfel mit sechs Ästen pro Stufe sind es nach 2 Würfen schon 6 · 6 = 36 Pfade. Dann hilft ein verkürztes Baumdiagramm.

Wie viele Pfadregeln gibt es? Zwei. Die erste sagt dir, wie wahrscheinlich ein einzelner Pfad ist. Die zweite sagt dir, wie wahrscheinlich ein Ereignis mit mehreren Pfaden ist. Beide gelten für jedes Baumdiagramm, mit und ohne Zurücklegen.

Zurück zum Beutel mit 3 roten und 2 blauen Kugeln, mit Zurücklegen. Wie wahrscheinlich ist zweimal Rot? Du folgst dem Pfad rr: erst 3/5, dann wieder 3/5.

P(rr) = 3/5 · 3/5 = 9/25 = 36 %

Warum malnehmen? Stell dir 25 Durchgänge vor, in jedem ziehst du 2 Kugeln. Beim ersten Zug ist die Kugel in etwa 3/5 der Durchgänge rot. Das sind 15 von 25. Bei etwa 3/5 dieser 15 Durchgänge ist auch die zweite Kugel rot. Das sind 9 von 25. Genau das liefert die Rechnung. Wie du Brüche multiplizierst, steht in Bruchrechnen einfach erklärt: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner.

So rechnest du alle vier Pfade aus:

• P(rr) = 3/5 · 3/5 = 9/25
• P(rb) = 3/5 · 2/5 = 6/25
• P(br) = 2/5 · 3/5 = 6/25
• P(bb) = 2/5 · 2/5 = 4/25

Zur Probe addierst du alle Pfade: 9/25 + 6/25 + 6/25 + 4/25 = 25/25 = 1. Alle Pfade zusammen ergeben immer 1. Denn irgendein Ergebnis kommt sicher heraus.

Wie wahrscheinlich ist genau eine rote Kugel? Dazu passen die Pfade rb und br. Ob Rot zuerst kommt oder danach, ist hier egal. Du addierst die beiden Pfadwahrscheinlichkeiten:

P(genau eine rote) = 6/25 + 6/25 = 12/25 = 48 %

Ein zweites Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben? Dazu gehören rr und bb. Also 9/25 + 4/25 = 13/25 = 52 %. Brüche mit gleichem Nenner addierst du, indem du die Zähler addierst. Mehr dazu steht im Abschnitt Brüche addieren.

Bei Kugeln und Losen kommt es auf eine Frage an: Kommt die gezogene Kugel zurück in den Beutel? Solche Aufgaben heißen Urnenmodell. Eine Urne ist hier ein Gefäß, aus dem du blind ziehst.

• Mit Zurücklegen: Du legst die Kugel zurück. Vor jedem Zug liegt dasselbe im Beutel. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben auf jeder Stufe gleich.
• Ohne Zurücklegen: Die Kugel bleibt draußen. Vor dem nächsten Zug liegt eine Kugel weniger im Beutel. Die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe ändern sich.

Wieder liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln im Beutel. Diesmal ziehst du ohne Zurücklegen. Beim ersten Zug ändert sich nichts: Rot hat 3/5, Blau hat 2/5.

Beim zweiten Zug kommt es auf den ersten an. Hast du Rot gezogen, liegen noch 2 rote und 2 blaue Kugeln im Beutel. Rot hat jetzt 2/4, Blau auch 2/4. Hast du Blau gezogen, liegen noch 3 rote und 1 blaue Kugel darin. Dann hat Rot 3/4 und Blau 1/4. Der Nenner wird also um 1 kleiner. Der Zähler der gezogenen Farbe auch.

Mit der 1. Pfadregel bekommst du:

• P(rr) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10
• P(rb) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10
• P(br) = 2/5 · 3/4 = 6/20 = 3/10
• P(bb) = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10

Probe: 3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/10 = 10/10 = 1. Vergleich mit Zurücklegen: P(rr) sinkt von 36 % auf 30 %. Denn die erste rote Kugel fehlt beim zweiten Zug.

In vielen Aufgaben steht: „ohne Beachtung der Reihenfolge“. Dann zählt nur, welche Kugeln du am Ende hast. Erst Rot, dann Blau ist dasselbe wie erst Blau, dann Rot. Du addierst also alle Pfade mit denselben Kugeln. Für eine rote und eine blaue Kugel ohne Zurücklegen heißt das:

P(eine rote, eine blaue) = 3/10 + 3/10 = 6/10 = 3/5 = 60 %

Mit Beachtung der Reihenfolge zählt nur ein Pfad. P(rb) ist dann 3/10 = 30 %. Lies die Aufgabe deshalb genau. Bei vielen Zügen hilft später die Kombinatorik, also geschicktes Zählen. Die Idee bleibt dieselbe.

Jetzt kannst du die Frage vom Anfang lösen. In der Kiste liegen 20 Lose: 4 Gewinne (G) und 16 Nieten (N). Du ziehst zwei Lose. Ein gezogenes Los kommt nicht zurück.

• Zwei Gewinne: P(GG) = 4/20 · 3/19 = 12/380 = 3/95 ≈ 3,2 %
• Zwei Nieten: P(NN) = 16/20 · 15/19 = 240/380 = 12/19 ≈ 63,2 %

Mindestens ein Gewinn heißt: einer oder zwei. Dazu gehören drei Pfade: GN, NG und GG. Schneller geht es mit dem Gegenereignis „kein Gewinn“, also NN:

P(mindestens ein Gewinn) = 1 − 12/19 = 7/19 ≈ 36,8 %

Die Chance liegt also bei gut einem Drittel. Wie das Gegenereignis genau funktioniert, zeigt der nächste Abschnitt.

Das Gegenereignis zu E enthält alle Ergebnisse, die nicht zu E gehören. Oft schreibt man es mit einem Strich über dem E, also Ē. Gesprochen heißt das „nicht E“. Die Wahrscheinlichkeiten von E und Ē ergeben zusammen immer 1. Deshalb gilt:

Ein Beispiel: Du würfelst dreimal. Wie wahrscheinlich ist mindestens eine Sechs? Das Gegenereignis ist „keine Sechs in drei Würfen“. Bei jedem Wurf hat „keine 6“ die Wahrscheinlichkeit 5/6.

• P(keine 6) = 5/6 · 5/6 · 5/6 = 125/216
• P(mindestens eine 6) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 42,1 %

Viele rechnen hier anders: Tom addiert dreimal 1/6 und kommt auf 1/2. Das ist falsch. Auf diesem Weg käme er bei sechs Würfen auf 6/6, also 100 %. Doch auch bei sechs Würfen kann die Sechs ausbleiben. Der Fehler: Die drei Ereignisse „Sechs im 1., 2. oder 3. Wurf“ überschneiden sich. Würfe mit zwei oder drei Sechsen zählt Tom mehrfach.

Mit sechs Ästen pro Stufe wird ein Würfel-Baum riesig. Nach drei Würfen hätte er 6 · 6 · 6 = 216 Pfade. Zum Glück brauchst du nicht alle. Du fasst Ergebnisse zusammen: „6“ und „keine 6“. Dann hat jede Stufe nur zwei Äste. Und du zeichnest nur die Pfade, die du für die Rechnung brauchst. Das nennt man ein verkürztes Baumdiagramm.

Wichtig: Auch im verkürzten Baum ergeben die Äste an jedem Knoten 1. Hier ist das 1/6 + 5/6 = 1. Passt die Summe nicht, hast du ein Ergebnis vergessen.

Du würfelst einmal und dann noch einmal. Wie wahrscheinlich sind zwei Sechsen? Das ist ein einziger Pfad: P(zwei Sechsen) = 1/6 · 1/6 = 1/36 ≈ 2,8 %.

Und genau eine Sechs? Im verkürzten Baum passen dazu die Pfade „erst 6, dann keine 6“ und umgekehrt. Jeder hat 1/6 · 5/6 = 5/36. Zusammen sind das 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 ≈ 27,8 %.

Nimm das Glücksrad von oben: Rot hat 1/2, Blau 1/3 und Gelb 1/6. Du drehst es, merkst dir die Farbe und drehst noch einmal. Wie wahrscheinlich ist es, beide Male Blau zu treffen? P(blau, blau) = 1/3 · 1/3 = 1/9 ≈ 11,1 %.

Und wie wahrscheinlich sind verschiedene Farben? Am schnellsten geht es über das Gegenereignis „beide Male dieselbe Farbe“. Dazu gehören drei Pfade: Rot-Rot, Blau-Blau und Gelb-Gelb.

• P(dieselbe Farbe) = 1/2 · 1/2 + 1/3 · 1/3 + 1/6 · 1/6 = 9/36 + 4/36 + 1/36 = 14/36 = 7/18
• P(verschiedene Farben) = 1 − 7/18 = 11/18 ≈ 61,1 %

Auf deinem Schulweg liegen zwei Ampeln. Wir nehmen an: Ampel 1 ist mit 0,4 grün, Ampel 2 mit 0,5. Gelb zählt wie Rot. Die Ampeln schalten unabhängig voneinander. Das ist nur eine Annahme für die Rechnung. Echte Ampeln können aufeinander abgestimmt sein, etwa bei einer grünen Welle.

• Beide grün: 0,4 · 0,5 = 0,2 = 20 %
• Mindestens einmal warten: 1 − 0,2 = 0,8 = 80 %

Auch hier spart das Gegenereignis Arbeit. Sonst müsstest du drei Pfade addieren: grün-rot, rot-grün und rot-rot.

Das regelt jedes Bundesland selbst. Beispiele aus den Lehrplänen:

• Bayern, Gymnasium: In Klasse 8 berechnest du Laplace-Wahrscheinlichkeiten, auch mit Baumdiagrammen. Die Pfadregeln stehen in Klasse 10.
• Berlin und Brandenburg: Die Planungshilfe für die Klassen 9 und 10 wiederholt Baumdiagramme und Pfadregeln. Sie baut darauf auf, etwa mit Gegen­wahr­schein­lich­keiten und Urnen mit und ohne Zurücklegen.

Bundesweit gilt: Wer den Mittleren Schulabschluss macht, soll Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten bestimmen können, zum Beispiel mit einem Baumdiagramm. Das steht in den Bildungsstandards der Kultusministerkonferenz. Später baut die bedingte Wahrscheinlichkeit mit der Vierfeldertafel auf dem Baumdiagramm auf.

Nimm Papier und Stift. Zeichne, wo es passt, zuerst das Baumdiagramm, dann rechnest du. Die Aufgaben 1 bis 6 üben die Grundlagen. In 7 bis 12 geht es um die Pfadregeln, mit und ohne Zurücklegen. 13 bis 18 sind zum Knobeln. Die Lösungen stehen darunter. Zum Ausdrucken gibt es das Arbeitsblatt mit Lösungen als PDF.

1. Du würfelst einmal mit einem normalen Würfel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl größer als 4?
2. Schreib als Dezimalzahl und in Prozent: a) 1/4; b) 3/5; c) 1/8; d) 7/20
3. In einem Beutel liegen 4 rote, 5 blaue und 1 gelbe Kugel. Du ziehst eine Kugel. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für a) Blau, b) nicht Rot?
4. Ein Glücksrad hat 8 gleich große Felder: 3 rote, 4 blaue und 1 grünes. Gib die Wahrscheinlichkeit für jede Farbe an und mach die Probe.
5. An einem Knoten gehen drei Äste ab. Am ersten steht 0,3, am zweiten 0,45. Welcher Wert gehört an den dritten Ast?
6. Du wirfst eine Münze dreimal. Wie viele Pfade hat das Baumdiagramm? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für dreimal Kopf?
7. In einem Beutel liegen 1 rote und 3 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zwei blaue Kugeln?
8. Gleicher Beutel, wieder mit Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau eine rote Kugel?
9. Gleicher Beutel (1 rote, 3 blaue Kugeln), jetzt ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zwei blaue Kugeln?
10. Du würfelst zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Pasch, also zweimal dieselbe Augenzahl?
11. Auf deinem Schulweg liegen zwei Ampeln. Angenommen, Ampel A ist mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 grün und Ampel B mit 0,5. Die Ampeln schalten unabhängig voneinander. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) beide grün sind, b) genau eine grün ist?
12. An einer Losbude sind noch 10 Lose übrig, 2 davon sind Gewinne. Du kaufst 2 Lose. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass a) beide Nieten sind, b) mindestens ein Gewinn dabei ist?
13. Du würfelst zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs?
14. Du wirfst eine Münze viermal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal Zahl zu werfen?
15. Lena zieht zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus einem Beutel mit 3 roten und 3 blauen Kugeln. Sie rechnet für zweimal Rot 3/6 · 3/6. Finde den Fehler und rechne richtig.
16. In einer Schublade liegen 4 schwarze und 2 weiße Socken. Du ziehst im Dunkeln 2 Socken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide dieselbe Farbe haben?
17. Ein Glücksrad ist zur Hälfte rot, zu einem Viertel blau und zu einem Viertel gelb. Du drehst zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal dieselbe Farbe?
18. Wie oft musst du mindestens würfeln, damit die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Sechs über 50 % liegt?

1. Günstig sind die 5 und die 6, also 2 von 6 Ergebnissen. P(größer als 4) = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3 %.
2. a) 1/4 = 0,25 = 25 %; b) 3/5 = 0,6 = 60 %; c) 1/8 = 0,125 = 12,5 %; d) 7/20 = 0,35 = 35 %
3. a) 5 von 10 Kugeln sind blau: 5/10 = 1/2. b) Nicht Rot ist das Gegenereignis zu Rot: 1 − 4/10 = 6/10 = 3/5. Zur Probe zählst du: 6 von 10 Kugeln sind nicht rot.
4. P(rot) = 3/8, P(blau) = 4/8 = 1/2, P(grün) = 1/8. Probe: 3/8 + 4/8 + 1/8 = 8/8 = 1.
5. Alle Äste an einem Knoten ergeben zusammen 1. Also 1 − 0,3 − 0,45 = 0,25.
6. Jede Stufe verdoppelt die Pfade: 2 · 2 · 2 = 8 Pfade. P(KKK) = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8 = 12,5 %.
7. Mit Zurücklegen bleibt der Beutel gleich. P(bb) = 3/4 · 3/4 = 9/16 = 56,25 %.
8. Die Pfade rb und br passen. P(rb) = 1/4 · 3/4 = 3/16 und P(br) = 3/4 · 1/4 = 3/16. Summenregel: 3/16 + 3/16 = 6/16 = 3/8 = 37,5 %.
9. Nach der ersten blauen Kugel liegen noch 1 rote und 2 blaue im Beutel. P(bb) = 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2 = 50 %.
10. Sechs Pfade passen: (1|1), (2|2) bis (6|6). Jeder hat 1/6 · 1/6 = 1/36. Summenregel: 6 · 1/36 = 6/36 = 1/6 ≈ 16,7 %.
11. a) 0,6 · 0,5 = 0,3. b) A grün, B nicht grün: 0,6 · 0,5 = 0,3. A ist mit 1 − 0,6 = 0,4 nicht grün. A nicht grün, B grün: 0,4 · 0,5 = 0,2. Zusammen: 0,3 + 0,2 = 0,5.
12. a) P(NN) = 8/10 · 7/9 = 56/90 = 28/45 ≈ 62,2 %. b) Gegenereignis: 1 − 28/45 = 17/45 ≈ 37,8 %.
13. Das Gegenereignis heißt „keine Sechs“. P(keine 6) = 5/6 · 5/6 = 25/36. Also P(mindestens eine 6) = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 30,6 %.
14. Das Gegenereignis ist viermal Kopf: 1/2 · 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/16. Also 1 − 1/16 = 15/16 = 93,75 %.
15. Lena hat den zweiten Zug wie mit Zurücklegen gerechnet. Nach der ersten roten Kugel liegen nur noch 5 Kugeln im Beutel, 2 davon rot. Richtig ist P(rr) = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 1/5 = 20 %.
16. Eine gezogene Socke bleibt draußen, du rechnest also ohne Zurücklegen. Beide schwarz: 4/6 · 3/5 = 12/30. Beide weiß: 2/6 · 1/5 = 2/30. Summenregel: 12/30 + 2/30 = 14/30 = 7/15 ≈ 46,7 %.
17. Rot-Rot: 1/2 · 1/2 = 1/4. Blau-Blau: 1/4 · 1/4 = 1/16. Gelb-Gelb: 1/4 · 1/4 = 1/16. Zusammen: 1/4 + 1/16 + 1/16 = 6/16 = 3/8 = 37,5 %.
18. Rechne mit dem Gegenereignis. Bei drei Würfen: 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 42,1 %. Das reicht nicht. Bei vier Würfen: 1 − 625/1296 = 671/1296 ≈ 51,8 %. Du musst also mindestens viermal würfeln.

Markiere die Aufgaben, bei denen du unsicher warst. Löse sie übermorgen noch einmal, ohne in die Lösung zu schauen. Dieses Abrufen aus dem Kopf heißt Active Recall. So bleibt der Stoff besser hängen als durch erneutes Lesen.

Der Spickzettel fasst alle Regeln auf einer Seite zusammen. Im Arbeitsblatt als PDF findest du den Spickzettel, die 18 Aufgaben mit Platz zum Rechnen und die Lösungen.

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