Lineare Funktionen einfach erklärt: Steigung, Aufgaben und PDF

Eine Funktion ist eine Zuordnung. Sie ordnet jedem x-Wert genau einen y-Wert zu. Den x-Wert setzt du ein, den y-Wert bekommst du heraus. Statt y schreibt man oft f(x). Das liest du „f von x“. Es heißt: der Funktionswert an der Stelle x.

Eine lineare Funktion ist eine besondere Funktion. Bei ihr ändert sich der y-Wert immer gleich stark, wenn x um 1 wächst. Ihre Funktionsgleichung hat immer dieselbe Form:

Man nennt x die unabhängige Variable und y die abhängige Variable, denn y hängt von x ab. Ein Beispiel: f(x) = 2x + 1. Hier ist m = 2 und b = 1. Setzt du x = 3 ein, rechnest du f(3) = 2 · 3 + 1 = 7. Zum x-Wert 3 gehört also der y-Wert 7. Das ergibt den Punkt (3|⁠7).

Warum „linear“? Zeichnest du alle Punkte einer linearen Funktion in ein Koordinatensystem, liegen sie auf einer Geraden. Der Name kommt vom lateinischen Wort „linea“, auf Deutsch „Linie“. Lineare Funktionen gehören zu den wichtigsten Funktionen in der Mathematik. Mit ihnen beschreibst du alles, was gleichmäßig wächst oder abnimmt.

Eine senkrechte Gerade, etwa durch alle Punkte mit x = 3, ist übrigens keine Funktion. Zum x-Wert 3 gehören dort unendlich viele y-Werte. Bei einer Funktion gehört zu jedem x-Wert genau ein y-Wert.

Mit einer Wertetabelle findest du Punkte der Geraden. Du wählst ein paar x-Werte, setzt sie ein und rechnest die y-Werte aus. Hier für f(x) = 2x − 1:

Die Punkte heißen also (−1|⁠−3), (0|⁠−1), (1|⁠1), (2|⁠3) und (3|⁠5). Trägst du sie ins Koordinatensystem ein, liegen sie genau auf einer Linie. Verbindest du sie mit dem Lineal, erhältst du den Funktionsgraphen, kurz den Graphen.

Schau dir die y-Werte an: −3, −1, 1, 3, 5. Jeder ist um 2 größer als der vorige. Diese 2 ist genau die Steigung m. So erkennst du eine lineare Funktion in jeder Tabelle: Wächst x in gleichen Schritten, ändert sich y immer um denselben Betrag. Bei einer fallenden Geraden wird y jedes Mal um denselben Betrag kleiner.

Die beiden Werte m und b legen die Gerade ganz genau fest. Du kannst sie direkt aus der Funktionsgleichung ablesen.

Der y-Achsenabschnitt b ist der Funktionswert bei x = 0. Denn f(0) = m · 0 + b = b. Die Gerade schneidet die y-Achse also im Punkt (0|⁠b). Bei f(x) = 0,5x + 2 ist das der Punkt (0|⁠2).

Die Steigung m sagt dir, wie sich der y-Wert ändert. Gehst du auf der Geraden 1 nach rechts, geht es um m nach oben. Hat m ein Minus, geht es nach unten. Bei f(x) = 0,5x + 2 geht es pro Schritt nach rechts um 0,5 nach oben. Zwei Schritte nach rechts bringen dich 1 nach oben.

Am Vorzeichen von m siehst du sofort, wie der Funktionsgraph verläuft:

Je weiter m von 0 entfernt ist, desto steiler ist die Gerade. Das gilt auch, wenn m ein Minus hat. Die Gerade mit m = −3 fällt steiler als die mit m = −1. Mathematiker sagen: Der Betrag von m ist größer. Der Betrag ist die Zahl ohne Vorzeichen.

Oft kennst du nicht die Gleichung, sondern nur zwei Punkte der Geraden. Dann musst du die Steigung selbst bestimmen. Dabei hilft das Steigungsdreieck. Das ist ein rechtwinkliges Dreieck zwischen zwei Punkten der Geraden. Eine Seite verläuft waagerecht, eine senkrecht.

• Die waagerechte Seite ist der Unterschied der x-Werte: x₂ − x₁.
• Die senkrechte Seite ist der Unterschied der y-Werte: y₂ − y₁.

Die Steigung ist die senkrechte Seite geteilt durch die waagerechte. Also: wie viel nach oben pro Schritt nach rechts.

Beispiel mit positiver Steigung: Die Gerade geht durch P(1|⁠3) und Q(4|⁠9).

m = (9 − 3) : (4 − 1) = 6 : 3 = 2

Von P nach Q geht es 3 nach rechts und 6 nach oben. Pro Schritt nach rechts sind das 2 nach oben. Die Gerade steigt.

Beispiel mit negativer Steigung: Die Gerade geht durch P(−1|⁠5) und Q(3|⁠−3).

m = (−3 − 5) : (3 − (−1)) = −8 : 4 = −2

Achte auf die Klammer bei 3 − (−1). Minus minus ergibt plus, also 3 + 1 = 4. Wie das mit den Vorzeichen genau geht, zeigt dir Rationale Zahlen. Das Ergebnis hat ein Minus: Die Gerade fällt.

Beispiel mit Steigung null: Die Gerade geht durch P(−2|⁠4) und Q(3|⁠4). Oben steht 4 − 4 = 0. Die Steigung ist 0, die Gerade verläuft waagerecht.

Beispiel mit einem Bruch: Die Gerade geht durch P(0|⁠1) und Q(3|⁠3).

m = (3 − 1) : (3 − 0) = 2/3 ≈ 0,67

Die Steigung 2/3 ist ein Bruch. Er lässt sich nicht kürzen. Als Dezimalzahl hört er nie auf, die 6 wiederholt sich endlos: 0,666… Mit 0,67 rechnest du nur gerundet. Rechne deshalb besser mit dem Bruch weiter. Der Bruch verrät dir sogar das Steigungsdreieck: Der Nenner sagt, wie weit nach rechts. Der Zähler sagt, wie weit nach oben. Bei 2/3 gehst du also 3 nach rechts und 2 nach oben. Wie du Brüche kürzt, zeigt Bruchrechnen einfach erklärt. Bei 6 : 4 kürzt du zum Beispiel auf 3/2. Das ist dasselbe wie 1,5.

Auf Straßenschildern steht die Steigung in Prozent. „12 % Steigung“ heißt: Auf 100 m waagerechter Strecke geht es 12 m nach oben. Als Steigung ist das m = 12 : 100 = 0,12. Umgekehrt machst du aus der Steigung Prozent, indem du mit 100 malnimmst: 0,12 · 100 = 12, also 12 %.

Vorsicht: 100 % Steigung heißt nicht senkrecht. Es heißt m = 1, also 1 m hoch auf 1 m waagerechter Strecke. Das ist ein Winkel von 45 Grad.

Du kannst eine Gerade mit einer Wertetabelle zeichnen. Schneller geht es mit b und dem Steigungsdreieck. Dafür brauchst du keine Wertetabelle. So zeichnest du f(x) = 3/4 · x − 2:

Ist die Steigung kleiner als 0, gehst du nach unten. Für g(x) = −2x + 3 startest du bei (0|⁠3). Dann gehst du 1 nach rechts und 2 nach unten. So landest du bei (1|⁠1).

Ist die Steigung eine ganze Zahl wie 2, schreibst du sie als Bruch 2/1. Dann gehst du 1 nach rechts und 2 nach oben. Ist sie eine Dezimalzahl wie 0,5, schreibst du sie als 1/2. Dann gehst du 2 nach rechts und 1 nach oben.

Oft ist es umgekehrt: Du kennst den Graphen oder ein paar Punkte und sollst die Gleichung bestimmen. Dafür brauchst du immer m und b in der Form y = m · x + b. Es gibt drei typische Fälle.

Nimm die fallende Gerade g aus dem Bild mit den drei Geraden oben.

• b ablesen: Die Gerade schneidet die y-Achse bei 3. Also ist b = 3.
• m ablesen: Lege ein Steigungsdreieck an. Von (0|⁠3) gehst du 2 nach rechts. Dann musst du 1 nach unten, um wieder auf die Gerade zu kommen. Also ist m = −1/2 = −0,5.

Die Funktionsgleichung lautet g(x) = −0,5x + 3. Tipp: Wähle für das Dreieck Punkte, die genau auf einer Gitterkreuzung liegen. Dann liest du sicherer ab.

Du kennst die Steigung m = 3 und den Punkt P(2|⁠5). Du musst nur noch b bestimmen. Setze alles, was du kennst, in y = m · x + b ein. Für x und y nimmst du die Koordinaten des Punktes.

5 = 3 · 2 + b

5 = 6 + b

Jetzt rechnest du auf beiden Seiten minus 6. Dann steht da b = −1. Die Gleichung lautet f(x) = 3x − 1. Probe mit P: 3 · 2 − 1 = 5. Stimmt.

Das ist die häufigste Aufgabe. Du kennst zwei Punkte, zum Beispiel A(2|⁠1) und B(6|⁠7). So stellst du die Gleichung Schritt für Schritt auf:

Die Probe mit dem zweiten Punkt lohnt sich immer. Hast du dich bei m oder b verrechnet, merkst du es hier sofort.

Die Nullstelle ist der x-Wert, an dem die Gerade die x-Achse schneidet. Dort ist der y-Wert null. Um sie zu bestimmen, setzt du f(x) = 0 und löst die Gleichung nach x auf.

Beispiel: f(x) = 2x − 6

2x − 6 = 0

Rechne auf beiden Seiten plus 6: 2x = 6. Teile durch 2: x = 3. Die Nullstelle ist x = 3. Der Schnittpunkt mit der x-Achse heißt N(3|⁠0).

Beispiel mit fallender Geraden: g(x) = −0,5x + 3

−0,5x + 3 = 0

Minus 3 ergibt −0,5x = −3. Teile durch −0,5: x = 6. Die Gerade schneidet die x-Achse in N(6|⁠0). Das passt zum Bild mit den drei Geraden.

Mit der Punktprobe prüfst du, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt. Setze den x-Wert des Punktes in die Funktion ein. Kommt der y-Wert des Punktes heraus, liegt er auf der Geraden.

Beispiel: f(x) = 2x + 1

• Liegt P(3|⁠7) auf der Geraden? f(3) = 2 · 3 + 1 = 7. Das ist der y-Wert von P. Ja, P liegt auf der Geraden.
• Liegt Q(−2|⁠−4) auf der Geraden? f(−2) = 2 · (−2) + 1 = −3. Der y-Wert von Q ist aber −4. Nein, Q liegt nicht auf der Geraden. Q liegt 1 unter ihr.

Im Schnittpunkt treffen sich zwei Funktionsgraphen. Dort haben beide denselben x-Wert und denselben y-Wert. Die Variablen x und y sind also für beide gleich. Deshalb setzt du die beiden Funktionsterme gleich, also die rechten Seiten der beiden Gleichungen. Das heißt Gleichsetzen.

Beispiel: f(x) = 2x − 1 und g(x) = −x + 5

Vergiss den y-Wert nicht. Ein Schnittpunkt hat immer zwei Koordinaten. x = 2 allein ist nur die halbe Antwort.

Sonderfall gleiche Steigung: f(x) = 2x + 1 und p(x) = 2x − 3. Gleichsetzen ergibt 2x + 1 = 2x − 3. Rechnest du minus 2x, bleibt 1 = −3 stehen. Das ist falsch. Die Gleichung hat keine Lösung. Die Geraden sind parallel und schneiden sich nie. Haben zwei Geraden dieselbe Steigung und denselben y-Achsenabschnitt, sind sie gleich. Dann liegen sie aufeinander.

Auch die Schnittpunkte einer Geraden mit den Achsen kennst du jetzt: Sie schneidet die y-Achse im Punkt (0|⁠b) und die x-Achse in der Nullstelle, falls es eine gibt.

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Sie unterscheiden sich nur in b. f(x) = 2x + 1 und p(x) = 2x − 3 sind parallel. p liegt einfach 4 Einheiten tiefer.

Zwei Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, schneiden sich im rechten Winkel, also mit 90 Grad. Man sagt auch: Sie sind orthogonal. Für ihre Steigungen m₁ und m₂ gilt:

m₁ · m₂ = −1

Für jede Gerade, die senkrecht auf f(x) = 2x + 1 steht, gilt also 2 · m₂ = −1. Daraus folgt m₂ = −1/2 = −0,5. Probe: 2 · (−0,5) = −1. Eine dieser Geraden ist s(x) = −0,5x + 1. Kurz gesagt: Kehrwert bilden und das Vorzeichen umdrehen. Aus 3/4 wird so −4/3. Für waagerechte Geraden klappt die Regel nicht: Die Senkrechte dazu wäre eine Gerade wie x = 3, und die ist keine Funktion.

Ist b = 0 und m ≠ 0, wird aus der Form f(x) = m · x + b einfach f(x) = m · x. Die Gerade geht dann durch den Ursprung (0|⁠0). Man nennt sie Ursprungsgerade. Eine solche Funktion heißt proportional.

Ein Beispiel: 1 kg Äpfel kostet 3 €. Dann kosten x Kilogramm f(x) = 3x Euro. Für 2,5 kg bezahlst du 3 · 2,5 = 7,5, also 7,50 €. Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Das ist typisch für proportionale Zuordnungen. Solche Aufgaben kannst du auch mit dem Dreisatz lösen.

Bei b ≠ 0 klappt das nicht mehr. Beim Fahrradverleih A kosten 2 Stunden 2 · 2 + 5 = 9 €. 4 Stunden kosten 2 · 4 + 5 = 13 €. Das ist nicht das Doppelte, weil die Grundgebühr nur einmal anfällt. Jede proportionale Funktion ist also linear. Aber nicht jede lineare Funktion ist proportional.

Bei linearem Wachstum kommt in jedem Schritt gleich viel dazu. Bei exponentiellem Wachstum nimmst du in jedem Schritt mit derselben Zahl mal. Ein Vergleich:

• Linear: 10, 12, 14, 16, 18. Immer plus 2.
• Exponentiell: 10, 20, 40, 80, 160. Immer mal 2.

So prüfst du eine Tabelle mit gleich großen x-Schritten. Sind die Differenzen gleich, also „rechts minus links“, ist sie linear. Sind die Quotienten gleich, also „rechts geteilt durch links“, ist sie exponentiell. Am Anfang liegen beide oft nah beieinander. Danach zieht das exponentielle Wachstum davon. Mehr dazu findest du unter Exponentialfunktion einfach erklärt.

In Textaufgaben musst du die Funktion erst selbst aufstellen. Das geht fast immer gleich:

• b ist der Startwert, also das, was bei x = 0 schon da ist. Das kann eine Grundgebühr sein oder eine Höhe am Anfang.
• m ist die Änderung pro Einheit, zum Beispiel Euro pro Stunde oder Zentimeter pro Stunde. Nimmt etwas ab, ist m negativ.

Schreib dir immer dazu, wofür x steht und in welcher Einheit.

Zurück zum Anfang. x steht für die Stunden, der Preis steht in Euro.

• Verleih A: f(x) = 2x + 5
• Verleih B: g(x) = 3x

Für 4 Stunden bezahlst du bei A f(4) = 2 · 4 + 5 = 13 €. Bei B bezahlst du g(4) = 3 · 4 = 12 €. B ist hier günstiger.

Wann kosten beide gleich viel? Das ist der Schnittpunkt. Gleichsetzen: 2x + 5 = 3x. Minus 2x ergibt 5 = x. Bei 5 Stunden kosten beide f(5) = 2 · 5 + 5 = 15 €. Für 6 Stunden bezahlst du bei A f(6) = 2 · 6 + 5 = 17 € und bei B g(6) = 3 · 6 = 18 €.

Die Antwort: Unter 5 Stunden ist Verleih B günstiger. Bei genau 5 Stunden kosten beide 15 €. Wer länger fährt, nimmt besser Verleih A.

Eine neue Kerze ist 20 cm hoch. Jede Stunde brennt sie 2 cm ab. Ihre Höhe nach x Stunden ist dann h(x) = −2x + 20. Die Steigung ist kleiner als null, denn die Kerze wird kürzer.

Nach 3 Stunden ist sie noch h(3) = −2 · 3 + 20 = 14 cm hoch. Wann ist sie ganz abgebrannt? Dann ist die Höhe null. Das ist die Nullstelle: −2x + 20 = 0. Minus 20 ergibt −2x = −20, also x = 10. Nach 10 Stunden ist die Kerze abgebrannt. Die Funktion passt also nur für x von 0 bis 10. Danach gibt es keine Kerze mehr, negative Höhen ergeben keinen Sinn.

Die Werte in diesen Beispielen sind ausgedacht.

Handytarif: Ein Tarif kostet 8 € im Monat. Jedes Gigabyte extra kostet 2 €. Mit x Gigabyte extra bezahlst du f(x) = 2x + 8. Für 3 Gigabyte extra sind das 2 · 3 + 8 = 14 €.

Taxi: Eine Fahrt kostet 4 € Grundpreis und 2,50 € pro Kilometer. Für x Kilometer bezahlst du f(x) = 2,5x + 4. Eine Fahrt über 6 km kostet 2,5 · 6 + 4 = 19 €. Wie weit kommst du mit 29 €? Aus 2,5x + 4 = 29 wird 2,5x = 25 und x = 10. Du kommst 10 km weit.

Planschbecken: Im Becken sind schon 50 Liter Wasser. Der Gartenschlauch füllt pro Minute 20 Liter nach. Nach x Minuten sind f(x) = 20x + 50 Liter drin. Wann sind es 450 Liter? Aus 20x + 50 = 450 wird 20x = 400 und x = 20. Nach 20 Minuten.

Wann das Thema drankommt, regelt jedes Bundesland selbst. Zwei Beispiele aus den Lehrplänen:

• Bayern, Gymnasium: In Klasse 8 gibt es einen eigenen Lernbereich „Lineare Funktionen“. Er umfasst etwa 16 Stunden. Dazu gehören die Bedeutung von m und t, Graphen zeichnen, Geradengleichungen aufstellen, Nullstellen und der Schnittpunkt zweier Geraden.
• Nordrhein-Westfalen, Gymnasium: Der Kernlehrplan führt lineare Funktionen in der ersten Stufe nach der Erprobungsstufe, also nach Klasse 6. Genannt werden Funktionsterm, Graph, Tabelle, Achsenabschnitte, Steigung und Steigungsdreieck.

Auch die bundesweiten Bildungsstandards verlangen lineare Funktionen, für den Ersten und den Mittleren Schulabschluss. Du sollst sie in Sachsituationen anwenden und die Steigung im Sachzusammenhang deuten können.

Danach geht es weiter mit quadratischen Funktionen. Ihr Graph ist keine Gerade mehr, sondern eine Parabel. Ihre Nullstellen berechnest du mit der pq-Formel.

Nimm Papier, Stift und Lineal. Zeichne, wo es hilft, eine kleine Skizze. Die Aufgaben 1 bis 6 üben die Grundlagen. In 7 bis 14 geht es um Brüche, Zeichnen, Punktprobe, Nullstellen und Gleichungen. 15 bis 18 sind zum Knobeln: Schnittpunkte und Textaufgaben. Die Lösungen stehen darunter. Zum Ausdrucken gibt es alles als Arbeitsblatt mit Lösungen (PDF).

1. Lies die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b ab: a) f(x) = 3x + 2; b) f(x) = −x + 4; c) f(x) = 0,5x; d) f(x) = −7
2. Gegeben ist f(x) = 3x − 5. Berechne f(4) und f(−1).
3. Lege für f(x) = −2x + 3 eine Wertetabelle an, für x von −1 bis 3.
4. Steigt oder fällt die Gerade? Wo schneidet sie die y-Achse? a) f(x) = −4x + 1; b) f(x) = 0,2x − 3
5. Berechne die Steigung der Geraden durch A(1|⁠2) und B(5|⁠10).
6. Berechne die Steigung der Geraden durch P(−2|⁠7) und Q(2|⁠−1).
7. Berechne die Steigung der Geraden durch C(0|⁠−1) und D(6|⁠3). Gib sie als Bruch und als Dezimalzahl an, auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
8. Zeichne f(x) = −1/3 · x + 2 ohne Wertetabelle in ein Koordinatensystem, für x von −1 bis 7. Beschreibe deine Schritte.
9. Liegt der Punkt P(4|⁠9) auf der Geraden f(x) = 2,5x − 1? Und Q(−2|⁠−7)?
10. Berechne die Nullstelle von f(x) = 4x − 10.
11. Berechne die Nullstellen von g(x) = −3x + 9 und h(x) = 2.
12. Eine Gerade hat die Steigung m = −2 und geht durch P(3|⁠1). Stelle ihre Gleichung auf.
13. Stelle die Gleichung der Geraden durch A(1|⁠4) und B(3|⁠10) auf.
14. Stelle die Gleichung der Geraden durch C(−2|⁠5) und D(4|⁠2) auf.
15. Berechne den Schnittpunkt von f(x) = 3x − 4 und g(x) = −x + 8.
16. a) Schneiden sich f(x) = 0,5x + 1 und g(x) = 0,5x − 2? b) Welche Steigung hat eine Gerade, die senkrecht auf f steht?
17. Ein Wassertank enthält 800 Liter. Jede Minute fließen 25 Liter ab. a) Stelle die Funktion auf (x in Minuten). b) Wie viel Wasser ist nach 12 Minuten noch drin? c) Wann ist der Tank leer?
18. Kletterhalle A verlangt 12 € pro Besuch. Kletterhalle B verlangt 30 € im Monat und 6 € pro Besuch. Ab wie vielen Besuchen im Monat ist B günstiger?

1. a) m = 3, b = 2; b) m = −1, b = 4 (−x heißt −1 · x); c) m = 0,5, b = 0; d) m = 0, b = −7 (waagerechte Gerade)
2. f(4) = 3 · 4 − 5 = 7. f(−1) = 3 · (−1) − 5 = −8.
3. f(−1) = −2 · (−1) + 3 = 5, f(0) = 3, f(1) = 1, f(2) = −1, f(3) = −3. Die Werte: 5, 3, 1, −1, −3. Jeder Schritt nach rechts macht den y-Wert um 2 kleiner, das ist m = −2.
4. a) m = −4 ist kleiner als 0, die Gerade fällt. Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|⁠1). b) m = 0,2 ist größer als 0, die Gerade steigt. Schnittpunkt: (0|⁠−3).
5. m = (10 − 2) : (5 − 1) = 8 : 4 = 2
6. m = (−1 − 7) : (2 − (−2)) = −8 : 4 = −2. Die Gerade fällt.
7. m = (3 − (−1)) : (6 − 0) = 4 : 6 = 2/3 ≈ 0,67 (gerundet, genau ist es 0,666… mit endlos vielen Sechsen). Als Steigungsdreieck: 3 nach rechts, 2 nach oben.
8. Markiere b = 2, also den Punkt (0|⁠2). Die Steigung −1/3 heißt: 3 nach rechts, 1 nach unten. So kommst du zum Punkt (3|⁠1). Noch einmal 3 nach rechts und 1 nach unten führt zu (6|⁠0). Verbinde die Punkte mit dem Lineal und verlängere die Gerade. Probe: −1/3 · 3 + 2 = 1.
9. f(4) = 2,5 · 4 − 1 = 9. P liegt auf der Geraden. f(−2) = 2,5 · (−2) − 1 = −6. Das ist nicht −7, also liegt Q nicht auf der Geraden.
10. 4x − 10 = 0. Plus 10: 4x = 10. Geteilt durch 4: x = 2,5. Die Gerade schneidet die x-Achse in N(2,5|⁠0).
11. g: −3x + 9 = 0, also −3x = −9 und x = 3. h: Die Gerade verläuft waagerecht auf der Höhe 2. Sie trifft die x-Achse nie, h hat keine Nullstelle.
12. Einsetzen in y = m · x + b: 1 = −2 · 3 + b, also 1 = −6 + b und b = 7. f(x) = −2x + 7. Probe: −2 · 3 + 7 = 1.
13. m = (10 − 4) : (3 − 1) = 6 : 2 = 3. Punkt A einsetzen: 4 = 3 · 1 + b, also b = 1. f(x) = 3x + 1. Probe mit B: 3 · 3 + 1 = 10.
14. m = (2 − 5) : (4 − (−2)) = −3 : 6 = −1/2 = −0,5. Punkt C einsetzen: 5 = −0,5 · (−2) + b, also 5 = 1 + b und b = 4. f(x) = −0,5x + 4. Probe mit D: −0,5 · 4 + 4 = 2.
15. Gleichsetzen: 3x − 4 = −x + 8. Plus x: 4x − 4 = 8. Plus 4: 4x = 12, also x = 3. y-Wert: f(3) = 3 · 3 − 4 = 5. Probe: g(3) = −3 + 8 = 5. S(3|⁠5)
16. a) Beide haben die Steigung 0,5, aber verschiedene y-Achsenabschnitte. Sie sind parallel und schneiden sich nie. b) Es muss 0,5 · m = −1 gelten, also m = −2.
17. a) f(x) = −25x + 800. b) f(12) = −25 · 12 + 800 = 500 Liter. c) −25x + 800 = 0, also 25x = 800 und x = 32. Nach 32 Minuten ist der Tank leer. Die Funktion gilt also nur für x von 0 bis 32.
18. A: a(x) = 12x. B: k(x) = 6x + 30. Gleichsetzen: 12x = 6x + 30, also 6x = 30 und x = 5. Bei 5 Besuchen kosten beide 60 €. Bei 6 Besuchen bezahlst du in A 72 € und in B 66 €. Ab 6 Besuchen im Monat ist B günstiger.

Markiere die Aufgaben, bei denen du unsicher warst. Löse sie in zwei Tagen noch einmal, ohne in die Lösung zu schauen. So merkst du, was wirklich sitzt.

Der Spickzettel fasst alle Regeln auf einer Seite zusammen. Im Arbeitsblatt als PDF findest du den Spickzettel, die 18 Aufgaben mit Kästchen zum Rechnen und Zeichnen und die Lösungen.

Mit Lerntwin übst du Mathe passend zu deiner Klasse. Die persönliche KI-Lernbegleitung fragt nach, statt die Lösung vorzusagen, und erklärt Schritt für Schritt. So stellst du die Gleichung selbst auf und merkst, wo es hakt. So funktioniert Lerntwin.