Prozentrechnung einfach erklärt: Formel, Rechner und Aufgaben

Prozent kommt von „per cento“. Das bedeutet „von Hundert“. Ein Prozent ist also ein Hundertstel. Das Zeichen dafür ist %. Zwischen Zahl und Zeichen steht ein Leerzeichen, wie bei 25 %.

Stell dir ein Feld mit 100 Kästchen vor. Jedes Kästchen ist 1 %. Malst du 23 Kästchen an, hast du 23 % des Feldes bemalt. Als Bruch ist das 23/100. Als Dezimalzahl ist es 0,23.

• 1 % = 1/100 = 0,01
• 50 % = 50/100 = 0,5. Das ist die Hälfte.
• 100 % = 100/100 = 1. Das ist das Ganze.

Warum rechnet man überhaupt mit Prozent? Damit kannst du Anteile leicht vergleichen. In der 7a fahren 9 von 25 Kindern mit dem Rad zur Schule. In der 7b sind es 10 von 40 Kindern. Wo fahren mehr Kinder Rad? In der 7b sind es mehr Kinder. Ihr Anteil ist aber kleiner: In der 7a sind es 36 %, in der 7b nur 25 %. Erst der prozentuale Anteil macht den Vergleich fair.

Ein gutes Bild für Prozent ist der Prozentstreifen. Das ist ein langer Streifen. Er steht für das Ganze. Oben schreibst du die Prozente von 0 % bis 100 %. Unten stehen die passenden Werte, zum Beispiel 0 € bis 80 €. Ein Viertel des Streifens sind 25 %. Darunter stehen 20 €, denn 80 € : 4 = 20 €.

Mathe-Didaktiker der TU Dortmund haben den Streifen in 7. Klassen erprobt. Er soll helfen, Prozente zu verstehen, statt nur Formeln zu lernen. Zeichne ihn bei schweren Aufgaben einfach kurz ins Heft.

In jeder Prozentaufgabe kommen drei Größen vor. Zwei davon kennst du. Die dritte rechnest du aus. Nimm diesen Satz: „25 % von 80 € sind 20 €.“

• Grundwert G: das Ganze, hier 80 €. Er entspricht immer 100 %. Manche Bücher nennen ihn auch Ausgangswert.
• Prozentwert W: der Teil vom Ganzen, hier 20 €. Er hat dieselbe Einheit wie der Grundwert. Bei mehr als 100 % ist W größer als das Ganze.
• Prozentsatz p %: der Anteil in Prozent, hier 25 %. Die Zahl ohne Zeichen, also 25, heißt p. Manche Bücher nennen sie Prozentzahl.

Mit drei Fragen findest du jede Größe:

Schreib dir am Anfang jeder Aufgabe drei Zeilen auf: G, W und p %. Hinter die gesuchte Größe setzt du ein Fragezeichen. Dann siehst du sofort, welche Formel passt.

Alle Formeln der Prozentrechnung kommen aus einer Grundformel:

W = G · p : 100

In Worten: Prozentwert gleich Grundwert mal p durch 100. Das „durch 100“ steht da, weil Prozent „Hundertstel“ heißt. Stellst du die Grundformel um, bekommst du die zwei anderen Formeln:

Eine gute Eselsbrücke für die Formeln ist das Formeldreieck. Oben steht W, unten stehen G und p %. Halte die gesuchte Größe mit dem Finger zu. Was übrig bleibt, ist die Rechnung. Im Dreieck rechnest du mit p % als Dezimalzahl, also 25 % = 0,25.

Gesucht ist der Teil. Beispiel: Eine Jacke kostet 80 €. Du bekommst 30 % Rabatt. Wie viel Euro sparst du?

• Grundwert G = 80 €, Prozentsatz p % = 30 %, gesucht ist W.
• W = 80 € · 30 : 100 = 24 €

Du sparst 24 €. Die Jacke kostet also noch 80 € − 24 € = 56 €. Das ist die Antwort auf das Schild vom Anfang.

Gesucht ist das Ganze. Beispiel: In einer Klasse tragen 6 Kinder eine Brille. Das sind 25 % der Klasse. Wie viele Kinder hat die Klasse?

• Prozentwert W = 6 Kinder, Prozentsatz p % = 25 %, gesucht ist G.
• G = 6 · 100 : 25 = 24

Die Klasse hat 24 Kinder. Probe: 25 % von 24 Kindern sind ein Viertel, also 24 : 4 = 6 Kinder.

Gesucht ist der Anteil in Prozent. Beispiel: Du hast in einem Test 18 von 24 Punkten. Wie viel Prozent sind das?

• Grundwert G = 24 Punkte, Prozentwert W = 18 Punkte, gesucht ist p.
• p = 18 : 24 · 100 = 75

Du hast 75 % der Punkte. Kürzer geht es so: 18 : 24 = 0,75 = 75 %.

Prozentaufgaben kannst du auf drei Wegen lösen. Mit jedem Weg wirst du dasselbe Ergebnis erhalten. Hier siehst du sie an einer Aufgabe: Wie viel sind 15 % von 60 €?

Du rechnest zuerst aus, was 1 % ist:

• 100 % → 60 €
• 1 % → 60 € : 100 = 0,60 €
• 15 % → 0,60 € · 15 = 9 €

Das ist anschaulich und klappt immer. Mehr Beispiele dazu stehen im Artikel Dreisatz mit Prozent.

Du setzt direkt in die Grundformel ein: W = 60 € · 15 : 100 = 9 €. Das ist Prozentrechnung ohne Dreisatz. Du sparst dir den Schritt über 1 %.

Du schreibst den Prozentsatz als Dezimalzahl: 15 % = 0,15. Diese Zahl heißt Prozentfaktor, kurz q. Dann rechnest du nur noch mal: 60 € · 0,15 = 9 €. Mit dem Taschenrechner ist das der schnellste Weg. Später brauchst du den Faktor auch für Zinsen und Wachstum. Wie das geht, zeigt der Artikel Exponentialfunktion: Prozent in Faktor umrechnen.

Hier prüfst du eigene Aufgaben. Wähl zuerst aus, was du suchst. Dann trägst du die zwei Zahlen ein, die du kennst. Der Rechner zeigt dir das Ergebnis und jeden Schritt so, wie du ihn ins Heft schreibst. Am meisten lernst du, wenn du erst selbst rechnest und danach vergleichst.

Prozent, Bruch und Dezimalzahl sind drei Schreibweisen für dasselbe. So wandelst du um:

• Prozent in Dezimalzahl: durch 100 teilen. Das Komma rückt 2 Stellen nach links: 35 % = 0,35 und 5 % = 0,05.
• Dezimalzahl in Prozent: mal 100 nehmen. Das Komma rückt 2 Stellen nach rechts: 0,8 = 80 %.
• Bruch in Prozent: den Bruch auf Hundertstel erweitern: 3/4 = 75/100 = 75 %. Geht das nicht, teilst du den Zähler durch den Nenner. Bei 3/8 rechnest du 3 : 8 = 0,375 = 37,5 %.
• Prozent in Bruch: als Hundertstel schreiben und kürzen: 40 % = 40/100 = 2/5.

Diese Werte solltest du auswendig kennen:

Mehr als 100 % gibt es auch. Das bedeutet: mehr als das Ganze. Kostet ein Ticket jetzt 150 % vom alten Preis, ist es um die Hälfte teurer geworden.

Auch Wahrscheinlichkeiten schreibst du als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozent, zum Beispiel 1/4 = 0,25 = 25 %. Wie du sie berechnest, zeigt Baumdiagramm einfach erklärt.

Wie du Brüche erweiterst und kürzt, steht im Artikel Bruchrechnen einfach erklärt. Wie du mit Kommazahlen malnimmst und teilst, auch mit Minus, zeigt der Artikel Rationale Zahlen.

Viele Prozente kannst du im Kopf ausrechnen. Du brauchst nur ein paar Bausteine:

Viele andere Prozentsätze baust du aus diesen Bausteinen zusammen. 15 % sind 10 % und 5 %. Also sind 15 % von 60 € genau 6 € + 3 € = 9 €. 30 % sind dreimal 10 %. Also sind 30 % von 70 € genau 3 · 7 € = 21 €.

Trick zum Tauschen: 8 % von 50 klingt schwer. Tausch die Zahlen: 50 % von 8 sind 4. Das Ergebnis bleibt gleich, denn 8 · 50 : 100 = 50 · 8 : 100 = 4.

Oft fragt eine Aufgabe nicht nach dem Teil, sondern nach dem neuen Wert. Ein Preis sinkt um 30 % oder steigt um 19 %. Dann rechnest du mit dem verminderten oder dem vermehrten Grundwert. Am schnellsten geht das mit dem Prozentfaktor q.

Bei 30 % Rabatt bleiben 100 % − 30 % = 70 % übrig. Der Prozentfaktor ist also q = 0,7. Die Jacke für 80 € kostet damit 80 € · 0,7 = 56 €.

Das ist dasselbe wie in zwei Schritten: Der Rabatt ist 80 € · 0,3 = 24 €. Der neue Preis ist 80 € − 24 € = 56 €. Mit dem Faktor sparst du einen Schritt.

Wichtig: Der Faktor gehört immer zu dem Prozentsatz, den du suchst. Für den Rabatt selbst (30 %) rechnest du mit 0,3. Für den neuen Preis (70 %) rechnest du mit 0,7. Manche Bücher nennen den Faktor für den neuen Wert auch Wachstumsfaktor oder Änderungsfaktor.

Achte auf die kleinen Wörter. „Um 30 % gesenkt“ heißt 30 % weniger, also mal 0,7. „Auf 30 % gesenkt“ heißt: Es bleiben nur 30 %, also mal 0,3.

Steigt ein Preis um 20 %, sind es danach 100 % + 20 % = 120 %. Der Prozentfaktor ist q = 1,2. Ein Eis für 2,50 € kostet danach 2,50 € · 1,2 = 3 €.

Ein bekanntes Beispiel ist die Mehrwertsteuer. In Deutschland beträgt der normale Satz 19 %. Für manche Waren gilt ein kleinerer Satz von 7 %. Kostet ein Rucksack ohne Steuer 50 €, dann kostet er mit 19 % Steuer 50 € · 1,19 = 59,50 €. Den Preis ohne Steuer nennt man netto, den Preis mit Steuer brutto.

Jetzt geht es rückwärts. Eine Hose kostet nach 25 % Rabatt noch 60 €. Wie viel hat sie vorher gekostet?

Viele rechnen 25 % von 60 € dazu und kommen auf 75 €. Das ist falsch. Die 25 % beziehen sich auf den alten Preis, nicht auf die 60 €.

Richtig ist: Die 60 € sind 75 % vom alten Preis. Also teilst du durch den Prozentfaktor: G = 60 € : 0,75 = 80 €. Probe: 80 € · 0,75 = 60 €.

Genauso kommst du vom Bruttopreis zum Nettopreis. Du teilst durch 1,19: 59,50 € : 1,19 = 50 €.

Um wie viel Prozent ist etwas mehr oder weniger geworden? Das ist die prozentuale Veränderung. Dafür brauchst du drei Schritte:

1. Rechne den Unterschied aus: größerer Wert minus kleinerer Wert. Ob der Wert gestiegen oder gesunken ist, schreibst du am Ende dazu.
2. Teile den Unterschied durch den alten Wert. Der alte Wert ist der Grundwert, also der Ausgangswert.
3. Nimm das Ergebnis mal 100.

Beispiel: Ben bekommt 20 € Taschengeld. Ab jetzt sind es 25 €. Der Unterschied ist 25 € − 20 € = 5 €. Dann ist 5 : 20 = 0,25. Das Taschengeld steigt also um 25 %.

Jetzt rückwärts: Sinkt das Taschengeld von 25 € auf 20 €, ist der Unterschied wieder 5 €. Der Grundwert ist jetzt aber 25 €. 5 : 25 = 0,2. Das sind nur 20 % weniger. Gleicher Unterschied, anderer Grundwert, andere Prozente.

In Umfragen und Nachrichten hörst du oft das Wort Prozentpunkte. Beispiel: In einer Umfrage nennen 20 % der Kinder Mathe als Lieblingsfach. Ein Jahr später sind es 30 %.

• Der Unterschied in Prozentpunkten ist einfach die Differenz: 30 − 20 = 10. Der Anteil steigt um 10 Prozentpunkte.
• Der Unterschied in Prozent bezieht sich auf den alten Wert: 10 : 20 = 0,5. Der Anteil steigt also um 50 %.

Beide Aussagen stimmen. Falsch wäre aber: „Der Anteil steigt um 10 %.“

Prozente stecken in vielen Dingen, die du jeden Tag siehst:

• Rabatt: Ein Spiel kostet 40 € und ist 25 % billiger. Dann kostet es 40 € · 0,75 = 30 €.
• Akku: Ein voller Akku hält etwa 12 Stunden. Er zeigt noch 25 %. Nutzt du das Handy wie immer, reicht er noch etwa 12 · 0,25 = 3 Stunden.
• Umfrage: 15 von 25 Kindern wollen in den Kletterpark. Das sind 15 : 25 = 0,6 = 60 %.
• Datenvolumen: Du hast 5 GB im Monat und schon 4 GB verbraucht. 4 : 5 = 0,8. Du hast also 80 % verbraucht.
• Zinsen: Legst du 200 € für ein Jahr zu 2 % Zinsen an, bekommst du 200 € · 0,02 = 4 € Zinsen.

Wann die Prozentrechnung drankommt, regelt jedes Bundesland selbst. Zwei Beispiele aus Bayern:

• Gymnasium: In Klasse 6 lernen die Kinder einfache Prozentaufgaben, etwa zu Rabatt und Zins. Auch der Unterschied zwischen Prozent und Prozentpunkten gehört dazu. In Klasse 7 wird die Prozentrechnung vertieft.
• Mittelschule: In Klasse 7 ordnen die Kinder Zahlen aus dem Alltag Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz zu. Dann rechnen sie die fehlende Größe aus.

Später brauchst du Prozente immer wieder, etwa bei Zinsen, beim Wachstum und in der Statistik.

In den Aufgaben 1 bis 5 übst du die drei Grundaufgaben. In 6 und 7 wandelst du um. In 8 bis 11 geht es um Rabatt, Preiserhöhung, Mehrwertsteuer und das Zurückrechnen. 12 bis 15 sind zum Knobeln. Rechne erst allein und schreib den Rechenweg auf. Kontrolliere danach mit den Lösungen.

1. Lies den Satz und schreib Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz heraus: „Von 250 Losen sind 50 Gewinne. Das sind 20 %.“
2. Wie viel sind 30 % von 90 €?
3. Rechne im Kopf: a) 50 % von 46; b) 25 % von 120; c) 10 % von 35; d) 1 % von 700
4. In der Klasse 7b sind 28 Kinder. Sieben von ihnen fahren mit dem Bus. Wie viel Prozent sind das?
5. In einer Klasse spielen 12 Kinder ein Instrument. Das sind 40 % der Klasse. Wie viele Kinder sind in der Klasse?
6. Schreib als Prozent: a) 0,35; b) 3/4; c) 0,08; d) 1/5
7. Schreib als Dezimalzahl: a) 7 %; b) 45 %; c) 120 %; d) 0,5 %
8. Ein Pulli kostet 40 €. Im Angebot gibt es 15 % Rabatt. Wie viel kostet er jetzt?
9. Ein Kinoticket kostet 9 €. Der Preis steigt um 10 %. Wie viel kostet das Ticket jetzt?
10. Ein Fahrradhelm kostet ohne Mehrwertsteuer 40 €. Dazu kommen 19 % Mehrwertsteuer. Was kostet er mit Steuer?
11. Nach 20 % Rabatt kostet ein Rucksack 36 €. Wie viel hat er vorher gekostet?
12. Lenas Taschengeld steigt von 20 € auf 24 €. Um wie viel Prozent ist es gestiegen?
13. Tim sagt: „Steigt ein Preis erst um 20 % und sinkt dann um 20 %, ist er wieder gleich.“ Prüfe das mit 50 €.
14. Letztes Jahr wollten 40 % der Kinder einer Schule ans Meer fahren. Dieses Jahr sind es 50 %. Um wie viele Prozentpunkte und um wie viel Prozent ist der Anteil gestiegen?
15. Welche Jacke ist günstiger? Jacke A kostet 80 € mit 25 % Rabatt. Jacke B kostet 70 € mit 10 % Rabatt.

1. Grundwert G = 250 Lose (wovon?). Prozentwert W = 50 Lose (wie viel?). Prozentsatz p % = 20 % (wie viel Prozent?). Probe: 50 : 250 = 0,2 = 20 %.
2. Gesucht ist der Prozentwert. W = 90 € · 30 : 100 = 27 €. Kurz mit dem Prozentfaktor: 90 € · 0,3 = 27 €.
3. a) 46 : 2 = 23; b) 120 : 4 = 30; c) 35 : 10 = 3,5; d) 700 : 100 = 7
4. Gesucht ist der Prozentsatz. 7 : 28 = 0,25 = 25 %. Ein Viertel der Klasse fährt mit dem Bus.
5. Gesucht ist der Grundwert. G = 12 · 100 : 40 = 30. Mit dem Prozentfaktor: 12 : 0,4 = 30. In der Klasse sind 30 Kinder.
6. a) 0,35 = 35 %; b) 3/4 = 75/100 = 75 %; c) 0,08 = 8 %; d) 1/5 = 20/100 = 20 %
7. a) 7 % = 0,07; b) 45 % = 0,45; c) 120 % = 1,2; d) 0,5 % = 0,005
8. Verminderter Grundwert: 100 % − 15 % = 85 %, also ist q = 0,85. 40 € · 0,85 = 34 €. Du sparst 6 €.
9. Vermehrter Grundwert: 100 % + 10 % = 110 %, also ist q = 1,1. 9 € · 1,1 = 9,90 €. Das Ticket kostet 90 Cent mehr.
10. Mit Steuer: 40 € · 1,19 = 47,60 €. Die Steuer allein beträgt 40 € · 0,19 = 7,60 €.
11. Die 36 € sind 80 % vom alten Preis. G = 36 € : 0,8 = 45 €. Probe: 45 € · 0,8 = 36 €. Falsch wäre es, 20 % von 36 € draufzurechnen. Dann kämst du nur auf 43,20 €.
12. Unterschied: 24 € − 20 € = 4 €. Der Grundwert ist der alte Wert, also 20 €. 4 : 20 = 0,2 = 20 %. Das Taschengeld ist um 20 % gestiegen.
13. Das stimmt nicht. 50 € · 1,2 = 60 €. 60 € · 0,8 = 48 €. Der Preis ist am Ende 2 € niedriger. Die zweiten 20 % beziehen sich auf 60 €, nicht auf 50 €.
14. Um 10 Prozentpunkte, denn 50 − 40 = 10. In Prozent: 10 : 40 = 0,25 = 25 %. Der Anteil ist also um 25 % gestiegen.
15. Jacke A: 80 € · 0,75 = 60 €. Jacke B: 70 € · 0,9 = 63 €. Jacke A ist 3 € günstiger, obwohl sie vorher teurer war.

Arbeitsblatt zur Prozentrechnung als PDF herunterladen. Auf Seite 1 steht der Spickzettel mit allen Formeln. Auf den Seiten 2 und 3 findest du die 15 Aufgaben mit Platz zum Rechnen. Auf Seite 4 stehen die Lösungen.

Hängst du an einer Aufgabe aus deinem Heft? Lerntwin fragt nach, statt die Lösung vorzusagen, und geht den Rechenweg mit dir Schritt für Schritt durch. Wie das funktioniert, steht auf der Seite So funktioniert Lerntwin.