Exponentialfunktion einfach erklärt: Beispiele, Aufgaben und PDF

Stell dir 100 Bakterien vor. Jede Stunde verdoppelt sich ihre Zahl. Nach einer Stunde sind es 200. Nach zwei Stunden sind es 400, nach drei Stunden 800. Die Zahl wächst nicht um immer gleich viel. Sie wird bei jedem Schritt mal 2 genommen.

Das kannst du als Funktion schreiben. Eine Funktion ordnet jedem x genau einen Wert zu. Hier ist x die Zahl der Stunden. f(x) ist die Zahl der Bakterien:

f(x) = 100 · 2ˣ

Das kleine x oben heißt Exponent oder Hochzahl. Die 2 darunter ist die Basis. Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable x also im Exponenten. Daher kommt der Name. Nach 10 Stunden wären es schon 100 · 2¹⁰ = 102.400 Bakterien. Auf lange Sicht wächst so eine Exponentialfunktion schneller als x², x³ oder jede andere Potenz von x.

Die allgemeine Form lautet f(x) = a · bˣ. Dabei ist a nicht 0, meist ist a > 0. b ist größer als 0 und nicht 1. Für x setzt du reelle Zahlen ein, also auch Brüche und negative Zahlen. Ein paar Wörter brauchst du gleich öfter:

In f(x) = a · bˣ hat jede Zahl eine Aufgabe.

Der Anfangswert a ist der Wert bei x = 0. Denn jede Zahl außer 0 hoch 0 ergibt 1. Also gilt f(0) = a · b⁰ = a · 1 = a. Bei den Bakterien ist a = 100. In Aufgaben ist a meist ein Startpreis, eine Startmenge oder ein Startkapital.

Der Wachstumsfaktor b sagt dir, womit du bei jedem Schritt malnimmst. Ein Schritt ist das, wofür x steht: eine Stunde, ein Tag oder ein Jahr. Bei b = 2 verdoppelt sich der Wert. Bei b = 1,05 wächst er um 5 %. Bei b = 0,5 halbiert er sich.

Warum muss b größer als 0 sein? Mit einer negativen Basis springen die Werte hin und her: (−2)¹ = −2, (−2)² = 4 und (−2)³ = −8. Für x = 0,5 gäbe es gar kein Ergebnis. Das wäre die Wurzel aus −2. Und warum nicht b = 1? Dann bleibt alles gleich, denn 1ˣ ist immer 1.

So liest du a und b ab:

Ob eine Exponentialfunktion wächst oder fällt, hängt nur von b ab. Dabei gehen wir von einem positiven Anfangswert a aus.

• b > 1: exponentielles Wachstum. Der Graph steigt. Je weiter rechts, desto steiler wird er. Beispiel: f(x) = 2ˣ.
• 0 < b < 1: exponentieller Zerfall. Man sagt auch exponentielle Abnahme. Der Graph fällt. Er wird immer flacher, erreicht die 0 aber nie. Beispiel: g(x) = 0,5ˣ.

Zerfall heißt nicht, dass b negativ ist. Auch beim Zerfall ist b positiv, nur kleiner als 1. Bei 0,5 bleibt nach jedem Schritt die Hälfte übrig. Bei 0,9 bleiben 90 % übrig.

Oft steht in der Aufgabe kein Faktor, sondern ein Prozentsatz. Den rechnest du so um:

• Zunahme um p %: b = 1 + p : 100
• Abnahme um p %: b = 1 − p : 100

Warum? Nach einem Jahr mit 5 % Zinsen hast du 100 % deines Geldes und 5 % dazu. Das sind 105 %, also das 1,05-Fache. Verliert ein Fahrrad jedes Jahr 15 % an Wert, bleiben 85 % übrig. Der Faktor ist dann 0,85. Wie du sonst mit Prozenten rechnest, steht im Artikel Dreisatz einfach erklärt.

Beispiel: Ein Fahrrad kostet neu 600 €. Es verliert jedes Jahr 15 % an Wert.

1. Anfangswert: a = 600.
2. Faktor: b = 1 − 15 : 100 = 0,85.
3. Funktion: f(x) = 600 · 0,85ˣ, x in Jahren.
4. Nach 3 Jahren: f(3) = 600 · 0,85³ = 368,475. Das Rad ist noch rund 368,48 € wert.

Rückwärts geht es auch. Aus b = 1,08 liest du +8 % ab. Aus 0,85 wird −15 %. Die Änderung in Prozent heißt Wachstumsrate. Du rechnest sie so: (b − 1) · 100 %. Aus 1,08 wird (1,08 − 1) · 100 % = 8 %.

Achte auf „um“ und „auf“. Steigt ein Preis um 20 %, ist b = 1,2. Sinkt er auf 80 %, ist b direkt 0,8.

Lineares Wachstum heißt: Bei jedem Schritt kommt gleich viel dazu. Exponentielles Wachstum heißt: Bei jedem Schritt nimmst du mit derselben Zahl mal. Am Anfang sehen beide oft ähnlich aus. Später zieht das exponentielle Wachstum davon.

So prüfst du eine Wertetabelle. Die x‑Werte müssen dabei in gleichen Schritten wachsen, etwa 0, 1, 2, 3.

Vier Beispiele:

• 3, 6, 9, 12: Die Differenz ist immer 3. Linear.
• 3, 6, 12, 24: Der Quotient ist immer 2. Exponentiell mit b = 2.
• 1.000, 900, 810, 729: Der Quotient ist immer 0,9. Exponentiell, mit 10 % Abnahme pro Schritt.
• 1, 4, 9, 16: Die Differenzen sind 3, 5 und 7. Die Quotienten sind 4, 2,25 und etwa 1,78. Weder noch. Das sind Quadratzahlen.

Bei linearen Funktionen ist der Graph eine Gerade. Wie du ihre Steigung berechnest und die Gerade zeichnest, zeigt Lineare Funktionen einfach erklärt.

Eine alte Geschichte zeigt, wie stark exponentielles Wachstum ist. Ein kluger Mann wünscht sich vom König Reis. Auf das erste Feld eines Schachbretts soll ein Korn. Auf jedes weitere Feld sollen doppelt so viele wie auf das Feld davor. Der König lacht über den kleinen Wunsch.

Feld 1 hat 1 Korn, Feld 2 hat 2, Feld 3 hat 4. Auf Feld 10 liegen schon 512 Körner. Die ganze erste Reihe hat 8 Felder, darauf liegen zusammen nur 255 Körner. Auf Feld 21 sind es aber schon 1.048.576, also über eine Million. Auf Feld 64 wären es 2⁶³ Körner. Das sind etwa 9,2 Trillionen. Eine Trillion ist eine 1 mit 18 Nullen.

Zum Vergleich linear: Jedes Feld bekommt nur ein Korn mehr als das Feld davor. Dann wären es auf allen 64 Feldern zusammen nur 2.080 Körner.

Den Graphen zeichnest du mit einer Wertetabelle. Für f(x) = 2ˣ gilt:

Eine negative Hochzahl heißt: 1 geteilt durch die Potenz ohne das Minus. So ist 2⁻¹ = 1/2¹ = 1/2 und 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Am Graphen im Bild Wachstum und Zerfall siehst du sechs Eigenschaften. Sie gelten für jede Exponentialfunktion f(x) = a · bˣ mit positivem a:

1. Schnittpunkt mit der y-Achse: Der Graph geht durch den Punkt (0 |⁠ a). Bei 2ˣ ist das (0 |⁠ 1).
2. Keine Nullstelle: bˣ ist nie 0. Also trifft der Graph die x-Achse nie.
3. Asymptote: Auf einer Seite kommt der Graph der x-Achse immer näher. 2⁻¹⁰ ist schon 1/1.024. Die x-Achse ist die Asymptote.
4. Nur positive Werte: Der Graph liegt ganz über der x-Achse. Die Wertemenge besteht also aus allen positiven Zahlen. Für x darfst du dagegen jede beliebige Zahl einsetzen. Die Definitionsmenge besteht aus allen reellen Zahlen.
5. Monotonie: Bei b > 1 ist der Graph streng monoton steigend. Das heißt: Je größer x, desto größer f(x). Bei 0 < b < 1 ist er streng monoton fallend.
6. Spiegelung: Die Graphen von bˣ und (1/b)ˣ sind Spiegelbilder an der y-Achse. So gehören 2ˣ und 0,5ˣ zusammen.

Ist a negativ, wird der Graph an der x‑Achse gespiegelt. Er liegt dann ganz unter der x-Achse.

Anders ist es, wenn noch eine Zahl abgezogen wird: f(x) = 2ˣ − 8 hat die Nullstelle x = 3, denn 2³ = 8.

Viele verwechseln 2ˣ mit x². Die Tabelle zeigt den Unterschied:

Bei x = 2 und x = 4 sind beide gleich. Ab x = 5 liegt 2ˣ für immer vorn. Bei x = 10 steht es schon 1.024 zu 100.

Aufstellen heißt: Du suchst die Funktionsgleichung, also a und b. Im Text findest du dafür zwei Angaben: den Startwert und die Änderung pro Schritt.

Ein Kanal hat 2.500 Follower. Jeden Monat kommen 12 % dazu.

• Anfangswert: a = 2.500.
• Faktor: b = 1 + 12 : 100 = 1,12.
• Funktion: f(x) = 2.500 · 1,12ˣ, x in Monaten.

Nach 6 Monaten: f(6) = 2.500 · 1,12⁶ ≈ 4.934,56. Also etwa 4.935 Follower, wenn das Wachstum so bleibt.

Wachsen die x‑Werte in Einerschritten, teilst du einen Wert durch den Wert davor. Das Ergebnis ist b. Der Wert bei x = 0 ist a. Beispiel: Für x = 0, 1, 2 sind die Werte 5, 15 und 45. Es gilt 15 : 5 = 3 und 45 : 15 = 3. Also ist f(x) = 5 · 3ˣ.

Liegt einer der Punkte auf der y-Achse, bist du schnell fertig. Bei (0 |⁠ 4) und (2 |⁠ 36) ist a = 4. Dann gilt 4 · b² = 36, also b² = 9 und b = 3. Die Funktion ist f(x) = 4 · 3ˣ.

Liegt kein Punkt auf der y-Achse, teilst du die beiden Gleichungen durcheinander. Beispiel: Gesucht ist die Funktion durch P(1 |⁠ 6) und Q(3 |⁠ 54).

Nach dem Teilen steht b hoch „Abstand der x‑Werte“. Liegen die x‑Werte 3 auseinander, ziehst du die dritte Wurzel. Bei (2 |⁠ 20) und (5 |⁠ 160) ist b³ = 8, also b = 2. Aus a · 2² = 20 folgt a = 5.

Die Verdopplungszeit ist die Zeit, nach der sich ein Wert verdoppelt hat. Die Halbwertszeit ist die Zeit, nach der nur noch die Hälfte da ist. Beide hängen nicht vom Startwert ab. Ob 100 oder 1.000 Bakterien: Die Verdopplung dauert gleich lang.

Gesucht ist das x mit bˣ = 2 (Verdopplung) oder bˣ = 0,5 (Halbierung). Mit dem Logarithmus geht das direkt:

• Verdopplungszeit: T = log(2) : log(b), für b > 1
• Halbwertszeit: T = log(0,5) : log(b), für 0 < b < 1

Beispiel 1: Ein Guthaben wächst jedes Jahr um 5 %. Dann ist b = 1,05 und T = log(2) : log(1,05) ≈ 14,21. Rechnerisch dauert die Verdopplung also gut 14 Jahre. Die Zinsen kommen aber nur einmal im Jahr. Für ganze Jahre gilt die Ungleichung 1,05ˣ > 2 deshalb erst ab x = 15. Nach 15 Jahren ist es also zum ersten Mal mehr als doppelt so viel.

Beispiel 2: Ein Stoff verliert jeden Tag 10 %. Dann ist b = 0,9 und T = log(0,5) : log(0,9) ≈ 6,58. Die Halbwertszeit ist etwa 6,6 Tage.

Kennst du die Halbwertszeit T schon, rechnest du so:

N = N₀ · 0,5ⁿ mit n = t : T

N₀ ist die Menge am Anfang, t die vergangene Zeit und n die Zahl der Halbwertszeiten. Beispiel: 800 g, Halbwertszeit 8 Tage, nach 24 Tagen. Das sind n = 3 Halbwertszeiten. Es bleiben 800 · 0,5³ = 100 g.

Den Faktor pro Tag bekommst du mit der Wurzel: b ist die achte Wurzel aus 0,5, also b ≈ 0,917. Die Menge sinkt jeden Tag um etwa 8,3 %. Echte Halbwertszeiten von Stoffen findest du im Artikel Radioaktivität einfach erklärt.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der x im Exponenten steht, etwa 2ˣ = 32. Manchmal siehst du die Lösung sofort: 2⁵ = 32, also x = 5. Auch 3ˣ = 1/9 klappt im Kopf: 3⁻² = 1/9, also x = −2.

Bei 1,05ˣ = 2 geht das nicht. Du kannst probieren: 1,05¹⁴ ≈ 1,98 und 1,05¹⁵ ≈ 2,08. Die Lösung liegt also zwischen 14 und 15. Genauer und schneller geht es mit dem Logarithmus.

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Das heißt: Er macht ihre Rechnung rückgängig. Er beantwortet die Frage: Mit welcher Hochzahl wird aus b die Zahl c? Zum Beispiel ist log₂(32) = 5, denn 2⁵ = 32. Die kleine 2 ist die Basis. Man liest: „Logarithmus von 32 zur Basis 2“. Für den Taschenrechner brauchst du nur eine Formel. Die Lösung von bˣ = c ist:

x = log(c) : log(b)

Das geht nur für c > 0. Gleichungen wie 2ˣ = −8 haben keine Lösung, denn bˣ ist immer größer als 0.

Dahinter steckt eine Regel: Den Exponenten darfst du vor den Logarithmus ziehen. Aus log(bˣ) wird x · log(b).

Beispiel: 500 · 1,03ˣ = 800. Teile durch 500: 1,03ˣ = 1,6. Dann ist x = log(1,6) : log(1,03) ≈ 15,90. Steht x für Jahre, heißt das: Nach 15 Jahren sind es noch weniger als 800, nach 16 Jahren mehr.

Die Taste log rechnet mit der Basis 10. Die Taste ln rechnet mit der Basis e ≈ 2,718. Mehr dazu steht unten bei der e-Funktion. Für x = log(c) : log(b) ist es egal, welche Taste du nimmst. Du musst nur oben und unten dieselbe nutzen. log(2) : log(1,05) und ln(2) : ln(1,05) ergeben beide etwa 14,21.

Setz beim Tippen Klammern: log(2) ÷ log(1,05). Manche Rechner haben auch eine Taste log mit einem Kästchen für die Basis. Dann tippst du die Basis 1,05 und die Zahl 2 direkt ein.

Legst du Geld an, bekommst du Zinsen. Bleiben die Zinsen auf dem Konto, bekommst du im nächsten Jahr auch Zinsen auf die Zinsen. Das heißt Zinseszins. Es ist exponentielles Wachstum:

K = K₀ · (1 + p : 100)ⁿ

K₀ ist das Startkapital, p der Zinssatz in Prozent und n die Zahl der Jahre.

Beispiel: Du legst 1.000 € zu 3 % Zinsen an, 10 Jahre lang. Dann ist K = 1.000 · 1,03¹⁰ ≈ 1.343,92 €. Ohne Zinseszins bekämst du jedes Jahr nur 30 €. Nach 10 Jahren hättest du dann 1.300 €. Der Zinseszins bringt also 43,92 € mehr. Je länger die Zeit, desto größer der Abstand.

Wann hat sich das Geld verdoppelt? log(2) : log(1,03) ≈ 23,45. Nach 23 Jahren sind es knapp unter 2.000 €, nach 24 Jahren zum ersten Mal mehr.

Später triffst du eine besondere Exponentialfunktion: f(x) = eˣ. Sie heißt e-Funktion oder natürliche Exponentialfunktion. Ihre Basis ist die Eulersche Zahl e ≈ 2,71828. Wie π ist sie irrational: Ihre Nachkommastellen hören nie auf und wiederholen sich nie.

Das Besondere: Die Ableitung von eˣ ist wieder eˣ. Die Ableitung beschreibt die Steigung des Graphen. Bei eˣ ist die Steigung an jeder Stelle so groß wie der Funktionswert. Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus, kurz ln. Jede Exponentialfunktion lässt sich mit e schreiben. So ist 2ˣ dasselbe wie e hoch (x · ln 2), mit ln 2 ≈ 0,693. Für Klasse 9 und 10 reicht aber f(x) = a · bˣ.

Ein Beispiel zum Runden: Bei einer Halbwertszeit von 8 Tagen ist b ≈ 0,917004. Rundest du auf 0,92, bleiben nach 40 Tagen 0,92⁴⁰ ≈ 3,56 % übrig. Richtig sind aber 0,5⁵ = 3,125 %. Der kleine Rundungsfehler macht das Ergebnis deutlich zu groß.

Das regelt jedes Bundesland selbst. Drei Beispiele aus den Lehrplänen:

• Nordrhein-Westfalen, Gymnasium: Exponentielle Funktionen f(x) = a · qˣ stehen im Plan bis zum Ende der Sekundarstufe I, also bis Klasse 10. Dort heißt der Wachstumsfaktor q statt b. Dazu gehören Anfangswert, Wachstumsfaktor, Verdopplungs- und Halbwertszeit. Gleichungen bˣ = c löst du dort durch Probieren und Logarithmieren. Den Wachstumsfaktor kennst du schon aus der Prozentrechnung.
• Bayern, Gymnasium: In Klasse 10 heißt das Thema „Exponentielles Wachstum und Logarithmus“. Dafür sind etwa 18 Stunden vorgesehen.
• Berlin und Brandenburg, Gymnasium: Die Planungshilfe ordnet exponentielles Wachstum und Exponentialfunktionen der Klasse 10 zu. An Gesamtschulen sollte das Thema laut Hinweis erst in Klasse 11 kommen.

Willst du dich auf eine Arbeit vorbereiten? Wie viele Tage vorher du anfangen solltest, steht im Artikel Wie lange vor einer Klassenarbeit lernen.

Nimm Papier, Stift und Taschenrechner. Schreib bei jeder Aufgabe den Rechenweg auf. Die Aufgaben 1 bis 7 üben die Grundlagen. Ab Aufgabe 8 wird es kniffliger. Die Lösungen stehen darunter. Zum Ausdrucken gibt es ein Arbeitsblatt als PDF mit acht weiteren Aufgaben und Lösungen.

1. Gib den Wachstumsfaktor an: a) +4 %; b) +25 %; c) −8 %; d) −35 %
2. Gib die Änderung in Prozent an: a) b = 1,07; b) b = 0,96; c) b = 2,5; d) b = 0,5
3. Wachstum oder Zerfall? a) f(x) = 3 · 1,2ˣ; b) f(x) = 50 · 0,8ˣ; c) f(x) = 0,5 · 3ˣ; d) f(x) = 7 · (1/3)ˣ
4. Lies a und b ab: f(x) = 250 · 0,94ˣ. Um wie viel Prozent ändert sich der Wert pro Schritt? Berechne f(2).
5. Lege eine Wertetabelle für f(x) = 3 · 2ˣ an, für x von −2 bis 3.
6. Linear oder exponentiell? a) 5; 10; 20; 40 b) 5; 10; 15; 20 c) 64; 48; 36; 27 d) 100; 90; 80; 70
7. Eine Exponentialfunktion hat bei x = 0 den Wert 4 und bei x = 1 den Wert 6. Berechne die Werte für x = 2 und x = 3.
8. Ein Handy kostet neu 800 € und verliert jedes Jahr 20 % an Wert. Stelle die Funktion auf. Wie viel ist es nach 3 Jahren wert?
9. Stelle die Exponentialfunktion durch (0 |⁠ 3) und (2 |⁠ 27) auf.
10. Stelle die Exponentialfunktion durch (1 |⁠ 10) und (3 |⁠ 2,5) auf.
11. Seerosen verdoppeln ihre Fläche jeden Tag. Am Tag 20 ist der Teich voll. An welchem Tag war er halb bedeckt? Wann zu einem Achtel?
12. Die Menge eines Stoffes nimmt jede Stunde um 20 % ab. Berechne die Halbwertszeit.
13. Ein Stoff hat eine Halbwertszeit von 5 Jahren. Wie viel ist von 640 g nach 20 Jahren noch übrig?
14. Ein Guthaben wächst jedes Jahr um 4 %. Nach wie vielen Jahren hat es sich zum ersten Mal verdoppelt?
15. Löse ohne Taschenrechner: a) 2ˣ = 64; b) 5ˣ = 125; c) 10ˣ = 0,001; d) 3ˣ = 1
16. Löse mit dem Logarithmus und runde auf zwei Nachkommastellen: a) 1,08ˣ = 3; b) 0,9ˣ = 0,2; c) 200 · 1,05ˣ = 500
17. Du legst 2.000 € zu 2,5 % Zinsen pro Jahr an. Wie viel hast du nach 8 Jahren? Nach wie vielen Jahren hast du zum ersten Mal mehr als 3.000 €?
18. Eine Bakterienkultur wächst jede Stunde um 30 %. Am Anfang sind es 500 Bakterien. Tom schreibt: f(x) = 500 · 30ˣ. Was ist falsch? Wie viele Bakterien sind es nach 4 Stunden?

1. a) 1,04; b) 1,25; c) 0,92; d) 0,65.
2. a) +7 %; b) −4 %; c) +150 %; d) −50 %.
3. a) Wachstum, denn 1,2 > 1. b) Zerfall, denn 0,8 < 1. c) Wachstum, denn 3 > 1. Das a = 0,5 ändert daran nichts. d) Zerfall, denn 1/3 < 1.
4. a = 250 und b = 0,94. Der Wert sinkt pro Schritt um 6 %. f(2) = 250 · 0,94² = 220,9.
5. x = −2: 0,75. x = −1: 1,5. x = 0: 3. x = 1: 6. x = 2: 12. x = 3: 24.
6. a) Exponentiell, immer mal 2. b) Linear, immer plus 5. c) Exponentiell, immer mal 0,75. d) Linear, immer minus 10.
7. b = 6 : 4 = 1,5. Für x = 2: 6 · 1,5 = 9. Für x = 3: 9 · 1,5 = 13,5.
8. f(x) = 800 · 0,8ˣ. Nach 3 Jahren: 800 · 0,8³ = 800 · 0,512 = 409,60 €.
9. a = 3, denn der Punkt (0 |⁠ 3) liegt auf der y-Achse. 3 · b² = 27, also b² = 9 und b = 3. f(x) = 3 · 3ˣ.
10. Teile: b² = 2,5 : 10 = 0,25, also b = 0,5. Aus a · 0,5 = 10 folgt a = 20. f(x) = 20 · 0,5ˣ.
11. Halb bedeckt war er am Tag 19, einen Tag vor dem Ende. Ein Achtel war es drei Tage vorher, am Tag 17.
12. b = 0,8. T = log(0,5) : log(0,8) ≈ 3,1 Stunden.
13. 20 Jahre sind 4 Halbwertszeiten. 640 · 0,5⁴ = 640 : 16 = 40 g.
14. b = 1,04. log(2) : log(1,04) ≈ 17,67. Nach 17 Jahren ist es noch etwas weniger als das Doppelte. Nach 18 Jahren ist es zum ersten Mal mehr.
15. a) x = 6; b) x = 3; c) x = −3; d) x = 0.
16. a) x = log(3) : log(1,08) ≈ 14,27. b) x = log(0,2) : log(0,9) ≈ 15,28. c) Erst durch 200 teilen: 1,05ˣ = 2,5. Dann x = log(2,5) : log(1,05) ≈ 18,78.
17. 2.000 · 1,025⁸ ≈ 2.436,81 €. Für 3.000 € muss 1,025ˣ = 1,5 gelten. x = log(1,5) : log(1,025) ≈ 16,42. Zum ersten Mal mehr als 3.000 € hast du nach 17 Jahren.
18. Tom hat den Prozentsatz statt des Faktors eingesetzt. Richtig ist b = 1 + 30 : 100 = 1,3, also f(x) = 500 · 1,3ˣ. Nach 4 Stunden: 500 · 1,3⁴ = 1.428,05. Das sind etwa 1.428 Bakterien.

Markiere die Aufgaben, bei denen du unsicher warst. Löse sie in zwei Tagen noch einmal, ohne in die Lösung zu schauen. So merkst du schnell, was schon sitzt.

Der Spickzettel fasst das Wichtigste auf einer Seite zusammen. Das Arbeitsblatt als PDF hat drei Seiten: Spickzettel, acht Aufgaben und die Lösungen.

Mit Lerntwin übst du Mathe passend zu deiner Klasse. Die persönliche KI-Lernbegleitung fragt nach, statt die Lösung vorzusagen. So rechnest du selbst und merkst, wo es hakt. So funktioniert Lerntwin.