pq-Formel einfach erklärt: Beispiele, Aufgaben und PDF

Eine Gleichung ist eine Aufgabe mit einem Gleichheitszeichen. Darin steckt eine unbekannte Zahl, meist x. Du suchst die Zahl für x, die beide Seiten gleich macht. Kommt x hoch 2 vor, also als x², aber kein x³ oder höher, heißt die Gleichung quadratisch. Das Wort kommt vom Quadrat: x² liest man „x Quadrat“. Steht x dagegen oben in der Hochzahl, wie bei 2ˣ = 32, ist es eine Exponentialgleichung. Mehr dazu im Artikel Exponentialfunktion.

Bei x² − 9 = 0 kommst du noch ohne Formel aus. Denn 3 · 3 = 9 und (−3) · (−3) = 9. Bei x² + 4x + 1 = 0 hilft Raten nicht weiter. Hier kommt die pq-Formel ins Spiel. Sie ist eine Lösungsformel: Du setzt zwei Zahlen ein, rechnest aus und erhältst die Lösungen.

Eine quadratische Gleichung hat höchstens zwei Lösungen. Es kann auch nur eine sein oder gar keine. Mit der pq-Formel kannst du sie direkt berechnen. Ein paar Wörter brauchst du gleich öfter:

Die pq-Formel klappt nur in der Normalform. Dafür müssen zwei Dinge stimmen:

• Rechts vom Gleichheitszeichen steht eine 0.
• Vor x² steht eine 1. Diese 1 schreibt man nicht hin.

Steht die Gleichung anders da, formst du sie um. Umformen heißt: Du machst auf beiden Seiten dasselbe. Dann bleibt die Gleichung richtig.

Beispiel A: x² = 3x + 10
Bring alles auf die linke Seite. Zieh dazu auf beiden Seiten 3x und 10 ab:
x² − 3x − 10 = 0
Jetzt ist p = −3 und q = −10. Die Lösungen sind 5 und −2.

Beispiel B: 2x² + 8x − 10 = 0
Vor x² steht eine 2. Teile jeden Teil durch 2:
x² + 4x − 5 = 0
Wichtig: Auch die −10 teilst du durch 2. Das vergessen viele.

Beispiel C: −x² + 2x + 3 = 0
Vor x² steht −1. Teile durch −1. Dabei dreht sich jedes Vorzeichen um:
x² − 2x − 3 = 0
Die Lösungen sind 3 und −1.

Jetzt suchst du p und q. p ist die Zahl vor x. Die Zahl vor x heißt auch Koeffizient. Den Teil px nennt man lineares Glied. q ist die Zahl ohne x, das absolute Glied. Das Vorzeichen davor gehört immer dazu. Steht dort ein Minus, ist p oder q negativ. Die Regeln für Plus und Minus findest du bei den rationalen Zahlen.

Schreib die Werte von p und q vor dem Rechnen extra auf. Erst dann setzt du sie ein. Setz negative Zahlen beim Einsetzen in Klammern. Aus −p/2 wird dann −(−8)/2. So geht kein Minus verloren.

Hier prüfst du eigene Gleichungen. Tipp die ganze Gleichung ein, auch mit einer Zahl vor x², mit Kommazahlen oder Brüchen. Oder trag nur p und q ein. Der Rechner zeigt dir jeden Schritt so, wie du ihn ins Heft schreibst: Normalform, p und q, Einsetzen, Diskriminante, Lösungen und Probe. Darunter wartet „Jetzt du“: drei ähnliche Aufgaben, die du selbst rechnest. Der Fuchs prüft deine Lösung und zeigt dir, an welchem Schritt es hakt.

Jetzt rechnest du mit. In jedem Beispiel wirst du die pq-Formel anwenden: Werte ablesen, einsetzen, berechnen. Die Beispiele werden nach und nach schwerer.

Löse x² + 2x − 15 = 0.

1. Normalform? Ja. Rechts steht 0, vor x² steht 1.
2. p = 2 und q = −15.
3. p/2 = 1, also ist (p/2)² = 1.
4. Unter der Wurzel: 1 − (−15) = 1 + 15 = 16. Die Wurzel aus 16 ist 4.
5. x₁,₂ = −1 ± 4

Also ist x₁ = −1 + 4 = 3 und x₂ = −1 − 4 = −5. Die Lösungsmenge ist L = {3; −5}.

Achtung bei Schritt 4: Ziehst du eine negative Zahl ab, addierst du ihre Gegenzahl. Das ist dieselbe Zahl mit dem anderen Vorzeichen. Aus − (−15) wird + 15.

Löse x² − 8x + 12 = 0. Hier ist p = −8 und q = 12.

Jetzt kommt die häufigste Falle. In der Formel steht −p/2. Mit p = −8 ist p/2 = −4. Davor steht noch ein Minus: −(−4) = 4. Aus einem negativen p wird vorne also eine positive Zahl. Und (p/2)² = (−4)² = 16. Ein Quadrat ist nie negativ.

x₁,₂ = 4 ± √(16 − 12) = 4 ± √4 = 4 ± 2

Also ist x₁ = 6 und x₂ = 2. Die Grafik oben zeigt genau diese Rechnung.

Löse 2x² − 3x − 2 = 0. Vor x² steht eine 2. Diese Zahl heißt Vorfaktor. Teile die ganze Gleichung durch 2:

x² − 1,5x − 1 = 0

Jetzt ist p = −1,5 und q = −1. Weiter geht es wie immer:

• p/2 = −0,75 und (p/2)² = 0,5625
• Unter der Wurzel: 0,5625 + 1 = 1,5625
• √1,5625 = 1,25
• x₁,₂ = 0,75 ± 1,25

Also ist x₁ = 2 und x₂ = −0,5. Dezimalzahlen sehen schwer aus. Mit dem Taschenrechner ist es aber derselbe Weg.

Löse x² + ½x − 3 = 0. Hier ist p = ½ und q = −3. Mit Brüchen rechnest du genauso. Du brauchst nur die Regeln aus dem Bruchrechnen.

• p/2 = ½ : 2 = ¼
• (p/2)² = ¼ · ¼ = 1/16
• Unter der Wurzel: 1/16 + 3 = 1/16 + 48/16 = 49/16
• √(49/16) = 7/4, denn 7 · 7 = 49 und 4 · 4 = 16
• x₁,₂ = −¼ ± 7/4

Also ist x₁ = 6/4 = 3/2 und x₂ = −8/4 = −2. Bei einem Bruch ziehst du die Wurzel aus Zähler und Nenner einzeln. Der Zähler steht oben, der Nenner unten.

Löse x² + 4x + 1 = 0. Hier ist p = 4 und q = 1. Dann ist p/2 = 2, und unter der Wurzel steht 4 − 1 = 3.

x₁,₂ = −2 ± √3

Die Wurzel aus 3 ist keine glatte Zahl. Lass sie als √3 stehen. Das ist die exakte Lösung, also die ganz genaue. Brauchst du Zahlen, rundest du mit dem Taschenrechner: x₁ ≈ −0,27 und x₂ ≈ −3,73. Das Zeichen ≈ heißt „ungefähr gleich“.

Löse x² − 6x + 9 = 0. Hier ist p = −6 und q = 9. Dann ist −p/2 = 3, und unter der Wurzel steht 9 − 9 = 0.

x₁,₂ = 3 ± 0

Plus 0 und minus 0 ergeben dasselbe. Es gibt nur eine Lösung: x = 3. Man sagt auch: Die Lösung ist doppelt.

Löse x² + 2x + 5 = 0. Hier ist p = 2 und q = 5. Unter der Wurzel steht 1 − 5 = −4.

Aus einer negativen Zahl kannst du keine Wurzel ziehen. Denn keine Zahl mal sich selbst ergibt −4. Die Gleichung hat keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer: L = { }.

Genauer heißt es: keine reelle Lösung. Die reellen Zahlen sind alle Zahlen auf der Zahlengeraden, auch negative Zahlen, Brüche und Wurzeln.

Den Teil unter der Wurzel nennt man Diskriminante. Man kürzt sie mit D ab:

D = (p/2)² − q

D unterscheidet drei Fälle. Berechne D deshalb immer zuerst. Dann weißt du schon vor der Wurzel, wie viele Lösungen kommen.

Manche Bücher schreiben die Diskriminante anders, etwa als p² − 4q. Das ist genau das Vierfache von (p/2)² − q. Das Vorzeichen ist also gleich und damit auch die Zahl der Lösungen. Für die Lösungen selbst ziehst du aber die Wurzel aus (p/2)² − q.

Zu jeder Gleichung x² + px + q = 0 gehört eine Funktion y = x² + px + q. Eine Funktion ordnet jedem x genau ein y zu. Ihr Graph, also ihre Zeichnung im Koordinatensystem, ist eine Parabel, eine Kurve in U-Form. Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der Parabel. Dort ist y = 0, und die Kurve trifft die x-Achse.

Die pq-Formel zeigt das Stück für Stück:

• Bei x = −p/2 liegt die Mitte der Parabel. Dort liegt ihr tiefster Punkt, der Scheitel.
• √D ist der Abstand von der Mitte zu jeder Nullstelle.
• Die Nullstellen liegen also links und rechts gleich weit von der Mitte weg.

Bei y = x² − 2x − 3 ist p = −2 und q = −3. Die Mitte liegt bei −p/2 = 1. Dann ist D = 1 + 3 = 4, der Abstand ist √4 = 2. Die Nullstellen sind 1 + 2 = 3 und 1 − 2 = −1.

So passen auch die drei Fälle der Diskriminante. Der Scheitel liegt bei y = −D. Ist D größer als 0, liegt er unter der x-Achse. Dann schneidet die Parabel die Achse zweimal. Ist D = 0, liegt der Scheitel genau auf der x-Achse. Die Parabel berührt die Achse nur in diesem einen Punkt. Ist D kleiner als 0, liegt er darüber. Dann trifft die Parabel die Achse nie.

Die Formel fällt nicht vom Himmel. Du kannst sie mit der quadratischen Ergänzung selbst herleiten. Dafür brauchst du die binomischen Formeln, vor allem die erste: (a + b)² = a² + 2ab + b².

Die Idee: Du baust die linke Seite so um, dass dort ein Quadrat wie (x + 3)² steht. Dann kannst du die Wurzel ziehen. Erst mit Zahlen, am Beispiel x² + 6x − 7 = 0:

1. Bring −7 nach rechts: x² + 6x = 7
2. Die Hälfte von 6 ist 3, und 3² = 9. Rechne auf beiden Seiten + 9: x² + 6x + 9 = 16
3. Links steht jetzt (x + 3)², also (x + 3)² = 16
4. Zieh die Wurzel. Denk an beide Vorzeichen: x + 3 = 4 oder x + 3 = −4
5. Also ist x₁ = 1 und x₂ = −7.

Jetzt dasselbe mit p und q:

1. Start: x² + px + q = 0
2. Bring q nach rechts: x² + px = −q
3. Rechne auf beiden Seiten + (p/2)²: x² + px + (p/2)² = (p/2)² − q
4. Links steht die binomische Formel: (x + p/2)² = (p/2)² − q
5. Zieh die Wurzel. Das geht nur, wenn rechts keine negative Zahl steht: x + p/2 = ±√((p/2)² − q)
6. Bring p/2 nach rechts: x = −p/2 ± √((p/2)² − q)

Das ist die pq-Formel. Der Trick steckt in Schritt 3. Der Teil px passt zu 2ab in der binomischen Formel, mit a = x. Dann ist b = p/2. Es fehlt also noch b² = (p/2)². Diese Zahl ergänzt du auf beiden Seiten. Daher kommt der Name quadratische Ergänzung.

Am Ende lohnt sich eine Probe. Sie dauert eine Minute. Es gibt zwei Wege.

Weg 1: Einsetzen. Setz jede Lösung in die Gleichung ein, wie sie in der Aufgabe stand. Einsetzen heißt: Statt x schreibst du die Zahl. Beide Seiten müssen gleich sein. Steht rechts 0, muss links 0 herauskommen. So findest du auch Fehler beim Umformen. Für x² + 2x − 15 = 0 mit x₁ = 3 und x₂ = −5 gilt:

• 3² + 2 · 3 − 15 = 9 + 6 − 15 = 0 ✓
• (−5)² + 2 · (−5) − 15 = 25 − 10 − 15 = 0 ✓

Weg 2: Satz von Vieta. Dieser Satz gibt dir zwei kurze Regeln für die Normalform:

• x₁ + x₂ = −p
• x₁ · x₂ = q

Im Beispiel ist 3 + (−5) = −2. Das passt, denn p = 2. Und 3 · (−5) = −15 = q ✓

Vieta prüft nur die Rechnung ab der Normalform. Hast du vorher falsch geteilt, merkt Vieta das nicht. Dann hilft nur Weg 1.

Mit Vieta löst du einfache Gleichungen sogar ohne Formel. Bei x² − 7x + 10 = 0 suchst du zwei Zahlen. Ihr Produkt ist 10, ihre Summe 7. Das sind 2 und 5. Also ist x₁ = 2 und x₂ = 5. Findest du die Zahlen nicht schnell, nimm die pq-Formel.

Manchmal geht es ohne Formel schneller. Das spart Zeit in der Klassenarbeit.

Fall 1: pq-Formel ohne q. Ist q = 0, etwa bei x² − 5x = 0, klammerst du x aus. Das heißt: Du ziehst das x vor eine Klammer.
x · (x − 5) = 0
Faktoren sind die Zahlen, die du malnimmst. Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Ist kein Faktor 0, ist auch das Produkt nicht 0. Diese Regel heißt Satz vom Nullprodukt. Also ist x = 0 oder x − 5 = 0. Die Lösungen sind 0 und 5. Die pq-Formel liefert dasselbe. Die Lösung 0 ist bei q = 0 immer dabei.

Fall 2: p = 0. Ein Beispiel ist x² − 16 = 0. Bring die 16 nach rechts: x² = 16. Jetzt ziehst du die Wurzel. Denk an beide Vorzeichen: x = 4 oder x = −4. Bei x² + 9 = 0 wäre x² = −9. Das geht nicht, es gibt keine Lösung.

Fall 3: eine binomische Formel. Ein Beispiel ist x² − 10x + 25 = 0. Links steht die zweite binomische Formel: (x − 5)² = 0. Also ist x = 5 die einzige Lösung.

Neben der pq-Formel gibt es eine zweite Lösungsformel. Sie heißt abc-Formel oder Mitternachtsformel. Sie arbeitet mit der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0. Dabei ist a nicht 0. Du musst vorher nicht durch a teilen:

x₁,₂ = (−b ± √(b² − 4ac)) : (2a)

Beide Formeln geben immer dieselben Lösungen. Bei der abc-Formel musst du die Werte von a, b und c einsetzen. Welche du lernst, hängt meist von deiner Schule ab. Hier der Vergleich:

Ein Beispiel ist 2x² − 3x − 2 = 0 aus Beispiel 3. Hier ist a = 2, b = −3 und c = −2. Dann ist b² − 4ac = 9 + 16 = 25. Die Wurzel ist 5, also x₁,₂ = (3 ± 5) : 4. Es kommen 2 und −0,5 heraus. Genau wie mit der pq-Formel.

Quadratische Gleichungen stecken oft in Textaufgaben. Ein Beispiel:

Ein Beet hat die Form eines Rechtecks. Es ist 3 m länger als breit. Seine Fläche ist 40 m². Wie lang und wie breit ist es?

1. Unbekannte festlegen: Die Breite ist x. Dann ist die Länge x + 3.
2. Gleichung aufstellen: Fläche ist Länge mal Breite, also x · (x + 3) = 40.
3. Klammer auflösen: x² + 3x = 40.
4. Normalform: x² + 3x − 40 = 0. Also ist p = 3 und q = −40.
5. Diskriminante: (p/2)² = 2,25. Dann ist D = 2,25 + 40 = 42,25 und √D = 6,5.
6. pq-Formel: x₁,₂ = −1,5 ± 6,5, also x₁ = 5 und x₂ = −8.

Eine Breite kann nicht negativ sein. Die −8 fällt weg. Das Beet ist 5 m breit und 8 m lang. Probe: 5 · 8 = 40 ✓

Prüf bei Textaufgaben immer, ob beide Lösungen passen. Oft ergibt nur eine Sinn.

Mit dem Taschenrechner kannst du die Lösungen schnell berechnen. Viele tippen die ganze Formel auf einmal ein. Dabei passieren leicht Fehler. Sicherer geht es in drei Teilen:

1. Rechne zuerst D = (p/2)² − q aus. Schreib das Ergebnis auf.
2. Ist D negativ, bist du fertig: keine Lösung.
3. Sonst rechne −p/2 + √D und danach −p/2 − √D.

Achte auf Klammern bei negativen Zahlen. Tippst du −3², rechnet der Taschenrechner −(3²) = −9. Richtig ist (−3)² = 9. Manche Schulrechner lösen Gleichungen auch selbst. Frag deinen Lehrer, ob du das in der Arbeit nutzen darfst.

Das regelt jedes Bundesland selbst. Drei Beispiele aus den Lehrplänen:

• Berlin und Brandenburg, Gymnasium: Die Planungshilfe für Klasse 9 nennt das Lösen mit der p-q-Formel oder mit quadratischer Ergänzung.
• Nordrhein-Westfalen, Gymnasium: Quadratische Ergänzung, p-q-Formel und Satz von Vieta stehen im Plan bis zum Ende der Sekundarstufe I, also bis Klasse 10.
• Bayern, Gymnasium: In Klasse 9 lernst du eine Lösungsformel. Du sollst auch erkennen, wann Ausklammern schneller geht.

Je nach Schule lernst du die pq-Formel, die abc-Formel oder beide. Willst du dich auf eine Arbeit vorbereiten? Wie viele Tage vorher du anfangen solltest, steht im Artikel Wie lange vor einer Klassenarbeit lernen.

Nimm Papier und Stift. Schreib bei jeder Aufgabe den Rechenweg auf. Die Aufgaben 1 bis 5 üben die Grundlagen. Ab Aufgabe 6 wird es kniffliger. Die Lösungen stehen darunter. Zum Ausdrucken gibt es ein Arbeitsblatt als PDF mit acht weiteren Aufgaben und Lösungen.

1. Lies p und q ab: a) x² + 5x + 6 = 0, b) x² − 3x − 4 = 0, c) x² − x = 0
2. Bring in die Normalform: a) 2x² + 12x + 10 = 0, b) x² + 4 = 5x, c) −x² + 6x − 8 = 0
3. Löse x² + 6x + 8 = 0.
4. Löse x² − 10x + 21 = 0.
5. Löse x² + 2x − 24 = 0.
6. Löse x² − x − 20 = 0.
7. Löse x² + 3x − 10 = 0.
8. Wie viele Lösungen gibt es? Rechne nur D aus. a) x² − 4x + 4 = 0, b) x² + x + 1 = 0, c) x² − 2x − 1 = 0
9. Löse x² + 10x + 25 = 0.
10. Löse x² − 2x + 7 = 0.
11. Löse 3x² − 12x − 15 = 0.
12. Löse 2x² + x − 1 = 0.
13. Löse x² + 2x − 1 = 0. Gib die exakte Lösung an. Runde dann auf zwei Stellen nach dem Komma.
14. Sind 7 und −2 die Lösungen von x² − 5x − 14 = 0? Prüfe mit dem Satz von Vieta.
15. Zwei natürliche Zahlen folgen direkt aufeinander, etwa wie 5 und 6. Ihr Produkt ist 132. Welche Zahlen sind es?

1. a) p = 5, q = 6. b) p = −3, q = −4. c) p = −1, q = 0.
2. a) Durch 2 teilen: x² + 6x + 5 = 0. b) 5x abziehen: x² − 5x + 4 = 0. c) Durch −1 teilen: x² − 6x + 8 = 0.
3. p = 6, q = 8. D = 9 − 8 = 1. x₁,₂ = −3 ± 1, also x₁ = −2 und x₂ = −4.
4. p = −10, q = 21. D = 25 − 21 = 4. x₁,₂ = 5 ± 2, also x₁ = 7 und x₂ = 3.
5. p = 2, q = −24. D = 1 + 24 = 25. x₁,₂ = −1 ± 5, also x₁ = 4 und x₂ = −6.
6. p = −1, q = −20. D = 0,25 + 20 = 20,25. √D = 4,5. x₁,₂ = 0,5 ± 4,5, also x₁ = 5 und x₂ = −4.
7. p = 3, q = −10. D = 2,25 + 10 = 12,25. √D = 3,5. x₁,₂ = −1,5 ± 3,5, also x₁ = 2 und x₂ = −5.
8. a) D = 4 − 4 = 0: eine Lösung. b) D = 0,25 − 1 = −0,75: keine Lösung. c) D = 1 + 1 = 2: zwei Lösungen.
9. p = 10, q = 25. D = 25 − 25 = 0. Nur eine Lösung: x = −5.
10. p = −2, q = 7. D = 1 − 7 = −6. D ist negativ: keine Lösung, L = { }.
11. Durch 3 teilen: x² − 4x − 5 = 0. D = 4 + 5 = 9. x₁,₂ = 2 ± 3, also x₁ = 5 und x₂ = −1.
12. Durch 2 teilen: x² + 0,5x − 0,5 = 0. (p/2)² = 0,0625. D = 0,0625 + 0,5 = 0,5625. √D = 0,75. x₁,₂ = −0,25 ± 0,75, also x₁ = 0,5 und x₂ = −1.
13. p = 2, q = −1. D = 1 + 1 = 2. Exakt: x₁,₂ = −1 ± √2. Gerundet: x₁ ≈ 0,41 und x₂ ≈ −2,41.
14. p = −5, q = −14. 7 + (−2) = 5 = −p ✓ und 7 · (−2) = −14 = q ✓. Ja, beide sind Lösungen.
15. Die kleinere Zahl ist x, die größere x + 1. Also x · (x + 1) = 132, umgeformt x² + x − 132 = 0. D = 0,25 + 132 = 132,25. √D = 11,5. x₁,₂ = −0,5 ± 11,5, also 11 oder −12. Natürliche Zahlen sind nicht negativ. Die Zahlen sind 11 und 12.

Markiere die Aufgaben, bei denen du unsicher warst. Löse sie in zwei Tagen noch einmal, ohne in die Lösung zu schauen. Dieses Abrufen aus dem Kopf heißt Active Recall. Damit merkst du dir den Stoff besser als durch erneutes Lesen.

Schreib die Formel ein paar Tage lang jeden Tag einmal aus dem Kopf auf. Sprich sie dabei leise mit. Der Spickzettel hilft dir beim Kontrollieren. Das Arbeitsblatt als PDF hat drei Seiten: Spickzettel, acht Aufgaben und die Lösungen.

Mit Lerntwin übst du Mathe passend zu deiner Klasse. Die persönliche KI-Lernbegleitung fragt nach, statt die Lösung vorzusagen. So rechnest du selbst und merkst, wo es hakt. So funktioniert Lerntwin.