Mittelwert und Median berechnen: einfach erklärt mit Übungen

Stell dir vor, du hast viele Zahlen: Noten, Punkte oder Euro. Oder du hast Messwerte wie Zeiten und Temperaturen. Daten sind solche gesammelten Werte, zum Beispiel aus einer Umfrage in der Klasse. Alle Werte zusammen nennt man einen Datensatz. Schreibst du sie in eine Reihe, heißt das auch Datenreihe. Fragst du nicht alle Kinder, sondern nur einige, ist das eine Stichprobe.

Oft willst du so viele Werte mit einer einzigen Zahl beschreiben. Diese Zahl soll zeigen, wo die Werte ungefähr liegen. So eine Zahl heißt Mittelwert. In der Statistik sagt man auch Lagemaß oder Lageparameter. In der Schule lernst du drei Mittelwerte kennen. Die folgende Tabelle zeigt ihre Definition in einem Satz:

Zum arithmetischen Mittel sagst du im Alltag meist Durchschnitt. Oft heißt es auch einfach Mittelwert. Steht in diesem Artikel „Mittelwert“ allein, ist das arithmetische Mittel gemeint. Median und Modus zählen aber auch zu den Mittelwerten. Der Median sucht die Mitte auf anderem Weg, der Modus den häufigsten Wert.

Welcher Wert passt am besten? Das hängt von deinen Daten ab. Das lernst du weiter unten.

Für den Mittelwert brauchst du nur zwei Rechenarten: Plus und Geteilt.

Beispiel: Lena übt Kopfrechnen. In fünf Runden schafft sie 7, 9, 6, 10 und 8 Punkte.

1. Summe: 7 + 9 + 6 + 10 + 8 = 40
2. Anzahl: 5 Runden
3. Mittelwert: 40 : 5 = 8

Lena schafft im Durchschnitt 8 Punkte pro Runde. Du kannst dir den Mittelwert wie gerechtes Verteilen vorstellen. Wären alle Runden gleich gut gewesen, hätte Lena jedes Mal 8 Punkte. Die Runden mit 9 und 10 haben 1 und 2 Punkte mehr. Den Runden mit 7 und 6 fehlen 1 und 2 Punkte. Zusammen gleicht sich das genau aus.

Mit Kommazahlen: Ben springt beim Weitsprung 3,2 m, 3,5 m, 2,9 m und 3,4 m weit. Die Summe ist 13,0 m. Du teilst durch 4. Das ergibt 3,25 m. Keiner seiner Sprünge war genau 3,25 m lang. Das ist kein Fehler. Der Mittelwert muss kein Wert aus der Liste sein.

Geht die Division nicht glatt auf, rundest du meist auf zwei Stellen nach dem Komma. Ein Beispiel: Deine Noten sind 2, 3 und 3. Die Summe ist 8. Du rechnest 8 : 3 = 2,666… Gerundet sind das 2,67. Runde erst ganz am Ende. Als Bruch kannst du das Ergebnis auch genau schreiben: 8/3. Wie du mit Brüchen rechnest, zeigt Bruchrechnen einfach erklärt.

Auch Minuszahlen gehen. An fünf Morgen misst du −3, 1, 4, −2 und 5 °C. Die Summe ist (−3) + 1 + 4 + (−2) + 5 = 5. Geteilt durch 5 ergibt das 1 °C. Pass beim Addieren auf die Vorzeichen auf. Das Rechnen mit Minuszahlen übst du im Artikel zu rationalen Zahlen.

In einer Tabellenkalkulation geht es schneller. Schreib die Werte in die Zellen A1 bis A5. Dann tippst du in eine freie Zelle =MITTELWERT(A1:A5). Für den Median schreibst du =MEDIAN(A1:A5). Rechne trotzdem ein Beispiel von Hand nach. In der Klassenarbeit hast du meist keinen Computer.

Der Median heißt auf Deutsch auch Zentralwert. „Zentral“ bedeutet: in der Mitte. Der Median teilt die sortierten Werte in zwei gleich große Hälften. Links von ihm stehen gleich viele Werte wie rechts. Wichtig ist der erste Schritt: erst sortieren!

Sieben Kinder brauchen für den Schulweg 12, 5, 18, 8, 15, 10 und 23 Minuten. Sortiert sieht das so aus:

5, 8, 10, 12, 15, 18, 23

Es sind 7 Werte. In der Mitte steht die 12. Links und rechts davon stehen je 3 Werte. Der Median ist also 12 Minuten. Drei Kinder brauchen weniger Zeit, drei brauchen länger.

Bei vielen Werten hilft eine kleine Formel. Ist n die Anzahl der Werte, steht der Median an der Stelle (n + 1) : 2. Bei 7 Werten ist das (7 + 1) : 2 = 4. Der Median ist also der vierte Wert.

Sechs Kinder lesen in einer Woche 14, 9, 21, 11, 16 und 7 Seiten. Sortiert:

7, 9, 11, 14, 16, 21

Jetzt gibt es keinen einzelnen Wert in der Mitte. In der Mitte stehen zwei Werte: 11 und 14. Der Median liegt genau zwischen ihnen. Du rechnest ihren Mittelwert:

(11 + 14) : 2 = 12,5

Der Median ist 12,5 Seiten. Kein Kind hat genau 12,5 Seiten gelesen. Bei gerader Anzahl ist der Median oft kein Wert aus der Liste. Die beiden mittleren Werte stehen an den Stellen n : 2 und n : 2 + 1. Bei 6 Werten sind das die Stellen 3 und 4.

Hast du 25 Werte, ist der Median der 13. Wert. Denn (25 + 1) : 2 = 13. Links und rechts davon stehen dann je 12 Werte. Bei 30 Werten nimmst du den 15. und den 16. Wert und rechnest ihren Mittelwert. Stehen die Werte in einer Häufigkeitstabelle, zählst du von oben weiter. Wie das geht, zeigt das Beispiel mit dem Notenspiegel.

Bei wenigen Zahlen geht es auch mit Streichen. Streich die kleinste und die größte Zahl. Mach das immer weiter, bis eine oder zwei Zahlen übrig sind. Beim Schulweg streichst du erst 5 und 23, dann 8 und 18, dann 10 und 15. Übrig bleibt die 12. Das ist der Median.

Bleiben zwei Zahlen übrig, rechnest du ihren Mittelwert. Bei den gelesenen Seiten bleiben 11 und 14 stehen. Der Trick klappt, weil du links und rechts immer gleich viele Werte wegnimmst. In der Klassenarbeit ist Sortieren trotzdem sicherer. Dann sieht man deinen Rechenweg.

Der Modalwert heißt auch Modus. Er ist der Wert, der am häufigsten vorkommt. Du musst dafür nichts rechnen. Du zählst nur.

Acht Kinder haben diese Schuhgrößen: 36, 37, 37, 38, 38, 38, 39, 40. Die 38 kommt dreimal vor. Das ist öfter als jede andere Größe. Der häufigste Wert ist also 38.

Drei Fälle solltest du kennen:

• Zwei Werte gleich oft: Bei 2, 3, 3, 5, 5 kommen die 3 und die 5 je zweimal vor. Dann gibt es zwei Modalwerte: 3 und 5.
• Jeder Wert nur einmal: Bei 4, 7, 9 gibt es keinen häufigsten Wert. Der Modus hilft dann nicht weiter.
• Wörter statt Zahlen: Den Modus gibt es auch bei Lieblingsfarben. Sagen drei Kinder „Blau“, zwei „Grün“ und eines „Rot“, ist Blau der häufigste Wert. Mittelwert und Median gehen hier nicht. Farben kannst du weder addieren noch der Größe nach sortieren.

Die Spannweite ist kein Mittelwert. Sie zeigt, wie weit die Werte auseinanderliegen. Du rechnest:

Spannweite = größter Wert − kleinster Wert

Beim Schulweg ist das 23 − 5 = 18 Minuten. Eine große Spannweite zeigt: Die Werte sind sehr verschieden. Beim Taschengeld vom Anfang ist die Spannweite 75 − 15 = 60 Euro. Bekäme das fünfte Kind nur 25 statt 75 Euro, wären es nur 25 − 15 = 10 Euro. Ein einziger extremer Wert macht die Spannweite also viel größer.

Der Mittelwert nutzt jeden einzelnen Wert. Jede Zahl geht mit ihrer Größe in die Summe ein. Der Median nutzt nur die Reihenfolge. Für ihn zählt, welcher Wert in der Mitte steht. Wie groß die Werte ganz außen sind, ändert ihn nicht.

Das macht einen großen Unterschied, wenn es Ausreißer gibt. Ein Ausreißer ist ein Wert, der viel größer oder viel kleiner ist als die anderen.

Denk an die fünf Freunde vom Anfang. Zuerst bekommen sie 15, 18, 20, 22 und 25 Euro. Mittelwert und Median liegen beide bei 20 Euro. Nun bekommt das fünfte Kind 75 statt 25 Euro.

• Der Mittelwert springt auf 150 : 5 = 30 Euro.
• Der Median bleibt bei 20 Euro. In der Mitte steht immer noch die 20.

Vier von fünf Kindern bekommen weniger als 30 Euro. Der Mittelwert passt hier also kaum zu einem Kind. Der Median zeigt besser, was typisch ist. Man sagt: Der Median ist robust gegen Ausreißer. Robust heißt hier: Einzelne extreme Werte ändern ihn kaum.

Deshalb nutzen Statistiker oft den Median, zum Beispiel beim Verdienst. Das Statistische Bundesamt verwendet für 2025 beide Werte. Gemeint ist der Bruttoverdienst im Jahr von Vollzeitbeschäftigten. Brutto heißt: bevor Steuern und Beiträge für Versicherungen abgezogen sind. Vollzeit heißt: eine volle Arbeitswoche, nicht nur ein Teil davon. Sonderzahlungen wie Weihnachtsgeld zählen mit.

• Median: 54.066 Euro
• arithmetisches Mittel: 64.441 Euro

Die Hälfte der Beschäftigten verdiente weniger als 54.066 Euro. Der Durchschnitt liegt gut 10.000 Euro höher. Besonders hohe Verdienste ziehen ihn nach oben. Für den Median ist es egal, wie hoch sie sind. Für ihn zählt nur, dass sie oben stehen. Der Median halbiert die Verteilung der Verdienste. Das Amt nennt ihn deshalb auch „mittleren Verdienst“. Den Durchschnitt nennt es „durchschnittlichen Verdienst“.

Mittelwert, Median oder Modus: Welcher Wert wird wann verwendet? Die folgende Tabelle hilft dir bei der Wahl.

Warum hilft der Mittelwert bei einer Gesamtsumme? Ein Beispiel: 25 Kinder sammeln für die Klassenkasse, im Durchschnitt 4 Euro. Dann sind es zusammen 25 · 4 = 100 Euro. Mit dem Median kannst du die Summe nicht ausrechnen.

Oft lohnt es sich, beide Werte anzusehen. Liegen sie weit auseinander, gibt es vermutlich Ausreißer.

Sind Mittelwert und Median fast gleich, ist die Verteilung der Werte meist symmetrisch. Das heißt: Links und rechts der Mitte liegen die Werte ähnlich verteilt. Starke Ausreißer nur nach einer Seite gibt es dann kaum. Bei 4, 5, 6, 7 und 8 sind zum Beispiel beide Werte 6.

Ist der Mittelwert deutlich größer als der Median, ist die Verteilung schief, also nach einer Seite in die Länge gezogen. Einzelne große Werte ziehen den Mittelwert nach oben. So ist es beim Verdienst. Ist er deutlich kleiner, ziehen einzelne kleine Werte ihn nach unten.

Manchmal stehen die Werte nicht einzeln da, sondern in einer Häufigkeitstabelle. Sie zeigt, wie oft jeder Wert vorkommt. Ein typisches Beispiel ist der Notenspiegel einer Klassenarbeit. Er zeigt, wie viele Kinder welche Note haben.

So rechnest du:

1. Multipliziere jede Note mit ihrer Anzahl. Zwei Kinder haben eine 1. Das ergibt 1 · 2 = 2.
2. Addiere alle Ergebnisse: 2 + 12 + 24 + 20 + 15 + 6 = 79.
3. Zähle alle Kinder: 2 + 6 + 8 + 5 + 3 + 1 = 25.
4. Teile: 79 : 25 = 3,16.

Der Notendurchschnitt der Klasse ist 3,16. Das ist der ganz normale Mittelwert aller 25 Noten, nur schneller gerechnet. Statt achtmal 3 zu addieren, rechnest du 3 · 8. Jede Note zählt so oft, wie sie vorkommt. Ein häufiger Fehler: Jemand addiert nur die Noten 1 bis 6 und teilt durch 6. Das ergibt 3,5 und ist falsch. Denn dabei fehlt, wie viele Kinder jede Note haben.

Auch den Median findest du in der Tabelle. Es sind 25 Werte, also ist der Median der 13. Wert. Zähl von oben: Die Noten 1 und 2 haben zusammen 2 + 6 = 8 Kinder. Mit den 8 Dreien bist du bei 16. Der 13. Wert ist also eine 3. Der Median ist 3. Auch der Modus ist 3. Denn die 3 kommt am häufigsten vor: 8 Kinder haben sie.

Den Mittelwert brauchst du auch für deine eigenen Noten. Du hast in Mathe die Noten 2, 3, 2 und 4. Die Summe ist 11. Bei 4 Noten rechnest du 11 : 4 = 2,75. Das ist dein rechnerischer Schnitt.

Oft zählen nicht alle Noten gleich viel. Dann rechnest du mit Gewichtung und bekommst einen gewichteten Mittelwert. Ein Beispiel: Jede Klassenarbeit zählt doppelt, jede mündliche Note einfach. In den Klassenarbeiten hast du eine 2 und eine 4, mündlich eine 3. Jede Klassenarbeit nimmst du mal 2:

(2 · 2 + 2 · 4 + 3) : 5 = 15 : 5 = 3

Du teilst durch 5, weil 2 + 2 + 1 = 5 Anteile zusammenkommen. Hier zählt jede einzelne Arbeit doppelt.

Für die Zeugnisnote gewichten Schulen oft die Bereiche, zum Beispiel 2 : 1. Dann zählt der Schnitt aller Arbeiten ⅔ und die mündliche Note ⅓. In diesem Beispiel kommt auch so 3 heraus. Bei anderen Noten kann das Ergebnis aber anders sein. Mit dem Noten-Rechner rechnest du nach Bereichen mit der Gewichtung deiner Schule. Die Zeugnisnote gibt am Ende dein Lehrer. Sie muss nicht genau der gerundete Schnitt sein.

Zusammen mit dem Median oder kurz danach lernst du zwei weitere Werte kennen: die Quartile. Das Wort kommt von „Viertel“. Der Median teilt die sortierten Werte in zwei Hälften. Die Quartile teilen jede Hälfte noch einmal. So entstehen vier Teile mit etwa gleich vielen Werten.

Ein Boxplot zeigt das als Bild. Die Box reicht vom unteren bis zum oberen Quartil. Ein Strich in der Box zeigt den Median. Zwei Linien reichen in der einfachen Form bis zum kleinsten und zum größten Wert. So siehst du auf einen Blick: Wo liegt die Mitte? Wie weit streuen die Werte? Für die Quartile gibt es mehrere leicht verschiedene Rechenregeln. Nimm die Regel aus deinem Unterricht.

Das regelt jedes Bundesland selbst. Drei Beispiele aus den Lehrplänen:

• Nordrhein-Westfalen, Gymnasium: Arithmetisches Mittel, Median, Spannweite, Quartile und Boxplots stehen im Plan bis zum Ende von Klasse 6.
• Bayern, Gymnasium: Das arithmetische Mittel kommt in Klasse 6. Median, Spannweite, Quartile und Boxplots folgen in Klasse 7.
• Bayern, Mittelschule: Das arithmetische Mittel als Durchschnittswert steht in Klasse 6.

In anderen Ländern und Schulformen kann es früher oder später kommen. Schau im Zweifel in dein Schulbuch. Willst du für eine Klassenarbeit planen? Dann hilft dir Wie lange vor einer Klassenarbeit lernen?

Nimm Papier und Stift. Schreib bei jeder Aufgabe den Rechenweg auf. Die Aufgaben 1 bis 7 üben die Grundlagen. Ab Aufgabe 8 wird es kniffliger. Die Lösungen stehen darunter. Zum Ausdrucken gibt es das Arbeitsblatt mit Lösungen als PDF.

1. Berechne den Mittelwert von 4, 7, 5, 8 und 6.
2. Bestimme den Median von 9, 3, 7, 1 und 5.
3. Bestimme den Median von 12, 4, 10 und 8.
4. Bestimme den Modalwert von 2, 5, 3, 5, 4, 5 und 2.
5. Bestimme die Spannweite von 14, 9, 21, 11, 16 und 7.
6. Vier Pakete wiegen 1,5 kg, 2,0 kg, 2,5 kg und 3,2 kg. Wie schwer ist ein Paket im Durchschnitt?
7. An fünf Tagen misst du −4, −1, 2, 3 und 5 °C. Berechne Mittelwert und Median.
8. In einer Klassenarbeit haben 3 Kinder eine 1, 5 Kinder eine 2, 7 Kinder eine 3, 4 Kinder eine 4 und 1 Kind eine 5. Berechne den Notendurchschnitt.
9. Bestimme den Median zum Notenspiegel aus Aufgabe 8.
10. Fünf Kinder bekommen 20, 25, 30, 35 und 140 Euro Taschengeld im Monat. Berechne Mittelwert und Median. Welcher Wert zeigt besser, was typisch ist?
11. Lina spielt ein Spiel viermal. Ihr Mittelwert ist 7 Punkte. In drei Runden hatte sie 6, 8 und 5 Punkte. Wie viele Punkte hatte sie in der vierten Runde?
12. Bestimme Mittelwert, Median und Modus von 3, 8, 8, 2, 10 und 8.
13. Jede Klassenarbeit zählt doppelt, jede mündliche Note einfach. Max hat in den Arbeiten eine 3 und eine 2, mündlich eine 1. Berechne seinen gewichteten Schnitt.
14. Stimmt das? „Der Median ist immer eine der Zahlen aus der Liste.“ Begründe.
15. Finde fünf ganze Zahlen mit dem Mittelwert 10 und dem Median 8.

1. 4 + 7 + 5 + 8 + 6 = 30. Dann 30 : 5 = 6.
2. Sortiert: 1, 3, 5, 7, 9. Der Median ist 5.
3. Sortiert: 4, 8, 10, 12. Dann (8 + 10) : 2 = 9.
4. Die 5 kommt dreimal vor. Der Modus ist 5.
5. 21 − 7 = 14.
6. 1,5 + 2,0 + 2,5 + 3,2 = 9,2. Dann 9,2 : 4 = 2,3 kg.
7. Summe: (−4) + (−1) + 2 + 3 + 5 = 5. Mittelwert: 5 : 5 = 1 °C. Die Werte sind schon sortiert. Der Median ist 2 °C.
8. 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 7 + 4 · 4 + 5 · 1 = 55. Es sind 20 Kinder. Also 55 : 20 = 2,75.
9. Bei 20 Werten brauchst du den 10. und den 11. Wert. Bis Note 2 sind es 8 Kinder, bis Note 3 schon 15. Beide Werte sind eine 3. Der Median ist 3.
10. Mittelwert: 250 : 5 = 50 Euro. Median: 30 Euro. Der Median passt besser. Nur ein Kind bekommt mehr als 50 Euro. Die 140 ist ein Ausreißer.
11. Bei 4 Runden und dem Mittelwert 7 ist die Summe 4 · 7 = 28. Bisher hat Lina 6 + 8 + 5 = 19. Also 28 − 19 = 9 Punkte.
12. Sortiert: 2, 3, 8, 8, 8, 10. Mittelwert: 39 : 6 = 6,5. Median: (8 + 8) : 2 = 8. Modus: 8.
13. (2 · 3 + 2 · 2 + 1) : 5 = 11 : 5 = 2,2.
14. Nein. Bei gerader Anzahl kann der Median zwischen zwei Werten liegen. Bei 4, 8, 10, 12 ist er 9.
15. Zum Beispiel 6, 7, 8, 9, 20. Die Summe muss 5 · 10 = 50 sein, und in der Mitte muss die 8 stehen. Es gibt viele weitere Lösungen.

Markiere die Aufgaben, bei denen du unsicher warst. Löse sie in zwei Tagen noch einmal, ohne in die Lösung zu schauen. Dieses Abrufen aus dem Kopf heißt Active Recall. Damit merkst du dir den Stoff besser als durch erneutes Lesen.

Häng dir den Spickzettel neben den Schreibtisch. Erkläre die drei Mittelwerte einmal laut, als würdest du sie jemandem beibringen. Wo du stockst, schaust du noch einmal nach.

Mit Lerntwin übst du Mathe passend zu deiner Klasse. Die persönliche KI-Lernbegleitung fragt nach, statt die Lösung vorzusagen. So rechnest du selbst und merkst, wo es hakt. So funktioniert Lerntwin.