Satz des Thales einfach erklärt: Thaleskreis, Beweis, Aufgaben

Der Satz des Thales gehört zur Geometrie. Das ist der Teil der Mathe, in dem es um Formen, Strecken und Winkel geht. Der Satz verbindet zwei Dinge, die erst einmal nichts miteinander zu tun haben: einen Kreis und einen rechten Winkel.

Für den Satz brauchst du die folgenden Begriffe:

• Der Mittelpunkt M liegt genau in der Mitte des Kreises.
• Der Radius r ist der Abstand vom Mittelpunkt bis zur Kreislinie. Er ist überall gleich groß.
• Der Durchmesser ist eine Strecke von Rand zu Rand, die durch den Mittelpunkt geht. Er ist doppelt so lang wie der Radius.
• Ein rechter Winkel ist genau 90° groß. Du markierst ihn mit einem kleinen Bogen und einem Punkt darin.

Der Satz des Thales in Worten heißt kurz: Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter Winkel. Eine Formel mit Zahlen gibt es nicht. Als Kurzform schreibst du: C auf dem Thaleskreis über AB, also γ = 90°. Der griechische Buchstabe γ heißt Gamma. Er steht für den Winkel bei C. Die Winkel bei A und B heißen α (Alpha) und β (Beta).

Es ist egal, wo du den dritten Eckpunkt C auf den Bogen setzt. Weit links, ganz oben oder weit rechts: Der Winkel bei C bleibt 90°. Nur die Winkel bei A und B ändern sich. Zusammen ergeben sie immer 90°, denn alle drei Winkel im Dreieck ergeben 180°. Nur auf A oder B selbst darfst du C nicht setzen. Dann entsteht kein Dreieck.

Im rechtwinkligen Dreieck haben die Seiten eigene Namen. Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite. Beim Satz des Thales ist das immer der Durchmesser AB. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Sie stehen senkrecht aufeinander. Mehr dazu steht im Artikel zum Satz des Pythagoras.

Der Thaleskreis über einer Strecke AB ist der Kreis, für den AB ein Durchmesser ist. Der Zirkel kommt also genau in die Mitte von AB. Oft zeichnet man nur den Halbkreis auf einer Seite von AB. Der Satz gilt aber auf beiden Seiten. Auch unterhalb von AB ist jeder Winkel bei C ein rechter Winkel.

Bei einer Umkehrung tauschst du Voraussetzung und Folgerung. Die Voraussetzung ist das, was gegeben ist. Die Folgerung ist das, was daraus folgt. Nicht jeder umgekehrte Satz stimmt. Hier aber schon.

Das hat eine wichtige Folge. Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, der durch alle drei Ecken geht. Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist der Umkreis genau der Thaleskreis über der Hypotenuse. Der Umkreismittelpunkt ist also die Mitte der Hypotenuse. Sein Radius ist die halbe Hypotenuse.

Warum stimmt das? Spiegle C am Punkt M, der Mitte von AB. Dazu verlängerst du die Strecke CM über M hinaus um genau dieselbe Länge. Den neuen Endpunkt nennst du D. Bei dieser Spiegelung wird A zu B und C zu D. So ergänzt du das Dreieck zu einem Viereck ACBD.

Eine Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken. Hier sind das AB und CD. M ist die Mitte von beiden. Die Diagonalen halbieren sich also gegenseitig. Ein Viereck mit dieser Eigenschaft ist ein Parallelogramm: Seine gegenüberliegenden Seiten sind parallel. Im Parallelogramm ergeben zwei benachbarte Winkel zusammen 180°. Unser Parallelogramm hat bei C einen rechten Winkel. Damit sind alle vier Winkel rechte Winkel, es ist ein Rechteck. In jedem Rechteck sind die beiden Diagonalen gleich lang. Also ist M von allen vier Ecken gleich weit entfernt. Deshalb liegt C auf dem Kreis um M durch A und B.

Der Satz des Thales gilt nur für Punkte genau auf dem Kreis. Für alle anderen Punkte gibt es eine einfache Regel:

• Liegt C innerhalb des Thaleskreises, ist der Winkel bei C größer als 90°. Er ist stumpf.
• Liegt C auf dem Thaleskreis, ist der Winkel genau 90°.
• Liegt C außerhalb des Thaleskreises, ist der Winkel kleiner als 90°. Er ist spitz.

Je weiter C nach außen rückt, desto kleiner wird der Winkel. Rückt C nach innen, wird er größer. So prüfst du mit dem Thaleskreis, ob ein Winkel stumpf, recht oder spitz ist.

Am Brunnen kannst du das selbst ausprobieren. Zwei Personen stellen sich am Rand genau gegenüber. Eine dritte stellt sich irgendwo auf den Rand. Sie hält zwei Seile zu den beiden anderen. Die Seile bilden bei ihr einen Winkel von 90°. Streckt sie den Arm über das Wasser, wird der Winkel größer. Geht sie einen Schritt zurück, wird er kleiner.

Ein Beweis zeigt, dass ein Satz immer gilt, nicht nur in einer Zeichnung. Du brauchst dafür zwei Regeln:

• Basiswinkelsatz: Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Die dritte Seite heißt Basis. Die beiden Winkel an der Basis sind gleich groß. Sie heißen Basiswinkel.
• Winkelsumme: In jedem Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°.

Der Beweis gilt für jeden Punkt C auf dem Kreis. Denn kein Schritt hängt davon ab, wo C genau sitzt. In der Oberstufe beweist man den Satz auch mit Vektoren. Das sind Pfeile mit einer Richtung und einer Länge. Für die Klassen 7 und 8 reicht der Beweis mit den Basiswinkeln.

Der Satz hilft dir immer dann, wenn du einen 90°-Winkel brauchst, aber nur einen Kreis zeichnen kannst. Drei Anwendungen kommen in der Schule besonders oft vor.

Ist die Hypotenuse gegeben, konstruierst du das Dreieck mit dem Thaleskreis. Ein Beispiel: c = 8 cm, a = 5 cm und γ = 90°.

Ist statt einer Seite die Höhe gegeben, zeichnest du eine Parallele zu AB. Die Höhe ist der senkrechte Abstand von C zur Seite AB. Die Parallele hat genau diesen Abstand zu AB. Jeder Schnittpunkt mit dem Halbkreis ist ein möglicher Eckpunkt C. Meist gibt es zwei. Ist die Höhe größer als der Radius, gibt es kein solches Dreieck.

Die fehlenden Winkel im rechtwinkligen Dreieck berechnest du später mit Sinus, Kosinus und Tangens.

Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Kreis in genau einem Punkt berührt. Diesen Punkt nennt man Berührpunkt. Am Berührpunkt steht der Radius immer senkrecht auf der Tangente. Genau hier hilft der Thaleskreis. Gegeben sind ein Kreis k mit dem Mittelpunkt M und ein Punkt P außerhalb des Kreises.

Warum klappt das? T₁ liegt auf dem Thaleskreis über PM. Also hat das Dreieck PT₁M bei T₁ einen Winkel von 90°. Der Radius MT₁ steht damit senkrecht auf der Geraden PT₁. Genau das macht eine Tangente aus. Für T₂ gilt dasselbe.

Du willst die Mitte eines runden Tellers oder eines runden Deckels finden? Dafür brauchst du nur ein Blatt Papier, das größer ist als der Kreis. Die Ecke des Blatts ist ein rechter Winkel.

1. Leg die Ecke des Blatts genau auf den Rand des Kreises.
2. Markiere die zwei Stellen, an denen die Kanten des Blatts den Rand schneiden.
3. Verbinde die beiden Stellen. Wegen des rechten Winkels ist diese Strecke ein Durchmesser.
4. Mach das Gleiche an einer anderen Stelle des Rands.

Wo sich die beiden Durchmesser kreuzen, liegt die Mitte.

Wann der Satz drankommt, regelt jedes Bundesland selbst. Ein Beispiel ist der Lehrplan für das Gymnasium in Bayern. Dort steht der Satz des Thales in der 7. Klasse, im Lernbereich zu Kongruenz und besonderen Dreiecken. Kongruent heißt deckungsgleich: Zwei Figuren passen genau aufeinander. Die Schüler beweisen den Satz und den umgekehrten Satz. Sie wenden beides bei rechtwinkligen Dreiecken an. Und sie begründen, wie man die Tangente von einem Punkt außerhalb an einen Kreis konstruiert.

Schau am besten in dein Schulbuch. Dort siehst du, welche Schreibweise dein Lehrer erwartet.

Thales von Milet war ein griechischer Philosoph und Mathematiker. Er lebte um 600 v. Chr. in Milet. Die Stadt lag an der Westküste der heutigen Türkei. Er gilt als der erste griechische Mathematiker, dessen Namen wir kennen.

Ob Thales den Satz wirklich als Erster bewiesen hat, weiß niemand sicher. Von ihm sind keine eigenen Schriften erhalten. Dass der Satz von ihm stammt, berichten Autoren, die viele Jahrhunderte später lebten. Die Aussage selbst kannte man wohl schon vorher in Ägypten und Babylonien. Ein Beweis steht in den „Elementen“ des Euklid, geschrieben um 300 v. Chr. Dort ist es Satz 31 im dritten Buch.

In Aufgabe 1 ergänzt du den Satz. In 2 bis 5 berechnest du Winkel. In 6 und 7 entscheidest du, wo C liegt. In 8 bis 10 geht es um den Umkreis und die richtige Seite. In 11 bis 14 konstruierst du. In Aufgabe 15 findest du einen Fehler. Für die Aufgaben 9 und 11 hilft der Satz des Pythagoras. Löse die folgenden Aufgaben erst allein und schreib deine Antworten auf. Vergleiche danach mit den Lösungen.

1. Ergänze den Satz des Thales: Liegt der Punkt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann …
2. Der Eckpunkt C eines Dreiecks ABC ist ein Punkt auf dem Thaleskreis über AB. Der Winkel bei A ist α = 35°. Berechne β und γ.
3. Der Eckpunkt C befindet sich auf dem Thaleskreis über AB. Der Winkel bei B ist β = 72°. Wie groß ist α?
4. Das Dreieck ABC hat seinen Eckpunkt C auf dem Thaleskreis über AB, M ist die Mitte von AB. Es ist α = 40°. Berechne die Winkel ∠ACM und ∠MCB. Berechne auch die Winkel ∠AMC und ∠BMC bei M.
5. C ist ein Punkt auf dem Thaleskreis über AB, M ist die Mitte von AB. Der Winkel bei M ist ∠BMC = 70°. Berechne β und α.
6. Leon zeichnet drei Dreiecke mit derselben Strecke AB. Er misst den Winkel bei C: a) 90°, b) 104°, c) 71°. Liegt C jeweils auf, innerhalb oder außerhalb des Thaleskreises über AB?
7. Die Strecke AB ist 10 cm lang, M ist ihre Mitte. Ist der Winkel bei C gleich 90°, größer oder kleiner, wenn a) MC = 5 cm, b) MC = 4 cm, c) MC = 6,5 cm ist?
8. Ein Dreieck hat bei C einen rechten Winkel. Die Seite c ist 12 cm lang. Wo ist der Mittelpunkt seines Umkreises? Wie groß ist der Radius?
9. Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 cm und 8 cm. Wie groß ist der Radius seines Umkreises? Tipp: Satz des Pythagoras.
10. Ein Dreieck ABC hat den rechten Winkel bei A. Über welcher Seite zeichnest du den Thaleskreis, auf dem A liegt?
11. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = AB = 7 cm, der Seite a = BC = 4 cm und γ = 90°. Beschreibe deine Schritte. Miss dann die Seite b.
12. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit c = AB = 8 cm, γ = 90° und der Höhe h = 3 cm. Die Höhe ist der Abstand von C zur Seite AB. Wie viele Lösungen gibt es oberhalb von AB? Was ändert sich bei h = 5 cm?
13. Ein Kreis k hat den Mittelpunkt M und den Radius 3 cm. Der Punkt P ist 7 cm von M entfernt. Beschreibe, wie du die Tangenten von P an den Kreis konstruierst. Wie viele gibt es?
14. Konstruiere ein Rechteck ABCD mit der Diagonale AC = 6 cm und der Seite AB = 4 cm. Beschreibe deine Schritte. Tipp: Das Viereck hat bei B einen rechten Winkel.
15. Mia zeichnet einen Kreis und eine Sehne AB, die nicht durch den Mittelpunkt geht. Sie setzt C auf den Kreis und sagt: „Der Winkel bei C ist 90°.“ Was ist falsch? Was gilt stattdessen?

1. … hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel, also γ = 90°. Wichtig: AB muss ein Durchmesser sein. Die Strecke geht also durch den Mittelpunkt M.
2. Nach dem Satz des Thales ist γ = 90°. Mit der Winkelsumme gilt β = 180° − 90° − 35° = 55°.
3. Der Winkel bei C ist 90°. Also gilt α + β = 90° und α = 90° − 72° = 18°.
4. Das Dreieck AMC ist gleichschenklig, denn MA = MC. Also ist ∠ACM = α = 40°. Dann ist ∠MCB = 90° − 40° = 50°. Bei M gilt ∠AMC = 180° − 40° − 40° = 100° und ∠BMC = 180° − 100° = 80°.
5. Das Dreieck MBC ist gleichschenklig, denn MB = MC. Seine Basiswinkel sind gleich groß: β = (180° − 70°) : 2 = 55°. Mit α + β = 90° folgt α = 35°.
6. a) Auf dem Thaleskreis. b) Innerhalb, denn innen ist der Winkel größer als 90°. c) Außerhalb, denn außen ist der Winkel kleiner als 90°.
7. Der Thaleskreis hat den Radius 10 cm : 2 = 5 cm. a) MC = r, C ist also auf dem Kreis: genau 90°. b) MC ist kürzer als r, C ist innerhalb: größer als 90°. c) MC ist länger als r, C ist außerhalb: kleiner als 90°.
8. Wegen des rechten Winkels bei C ist C ein Punkt des Thaleskreises über c. Der Umkreismittelpunkt ist also die Mitte von c. Der Radius ist 12 cm : 2 = 6 cm.
9. Die Hypotenuse ist c = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm. Der Umkreis ist der Thaleskreis über dieser Seite. Sein Radius ist 5 cm.
10. Über der Seite BC. Sie ist die Seite gegenüber vom rechten Winkel, also die Hypotenuse. Ihre Mitte ist die Mitte des Thaleskreises.
11. Zeichne AB = 7 cm und markiere die Mitte M, 3,5 cm von A entfernt. Zeichne den Thaleskreis um M mit r = 3,5 cm. Zeichne einen Kreis um B mit dem Radius 4 cm. Einer seiner beiden Schnittpunkte mit dem Thaleskreis ist der Eckpunkt C. Verbinde A, B und C. Du misst b ≈ 5,7 cm. Probe mit Pythagoras: b = √(7² − 4²) = √33 ≈ 5,74 cm.
12. Zeichne AB = 8 cm und den Thaleskreis um die Mitte M mit r = 4 cm. Zeichne eine Parallele zu AB im Abstand 3 cm. Sie schneidet den Halbkreis oberhalb von AB in zwei Punkten. Beide sind mögliche Punkte C. Die zwei Dreiecke sind Spiegelbilder voneinander und gleich groß. Bei h = 5 cm gibt es keine Lösung: Der Halbkreis ist nur 4 cm hoch.
13. Zeichne die Strecke PM und bestimme ihre Mitte H. Zeichne den Thaleskreis um H mit dem Radius 3,5 cm. Er schneidet k in zwei Punkten T₁ und T₂. Verbinde P mit T₁ und mit T₂. Es gibt zwei Tangenten. Zusatz: Beide Strecken von P bis zum Berührpunkt sind gleich lang, √(7² − 3²) = √40 ≈ 6,3 cm.
14. Zeichne AC = 6 cm und den Thaleskreis über AC mit r = 3 cm. Zeichne einen Kreis um A mit dem Radius 4 cm. Ein Schnittpunkt mit dem Thaleskreis ist B. Zeichne einen Kreis um C mit dem Radius 4 cm. Sein Schnittpunkt mit dem Thaleskreis auf der anderen Seite von AC ist D. Verbinde die vier Eckpunkte zum Viereck ABCD. Zusatz: Die zweite Seite ist BC = √(6² − 4²) = √20 ≈ 4,5 cm.
15. AB ist kein Durchmesser. Der Satz des Thales gilt nur, wenn AB durch den Mittelpunkt geht. Auf dem größeren Kreisbogen ist der Winkel bei C kleiner als 90°. Auf dem kleineren Bogen ist er größer als 90°.

Arbeitsblatt zum Satz des Thales als PDF herunterladen. Auf Seite 1 steht ein Spickzettel mit allen Regeln und der Beweisfigur. Auf den Seiten 2 bis 4 findest du die 15 Aufgaben mit Platz zum Schreiben. Für die Konstruktionen gibt es Karofelder. Auf Seite 5 stehen die Lösungen.

Schritt 1: Sag den Satz und den umgekehrten Satz laut auf. Zeichne zu jedem eine kleine Skizze.

Schritt 2: Zeichne die Beweisfigur aus dem Kopf. Trag α und β ein und erkläre jeden Schritt mit eigenen Worten.

Schritt 3: Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Thaleskreis und eine Tangente an einen Kreis. Prüfe jeden 90°-Winkel mit dem Geodreieck.

Schritt 4: Löse die Aufgaben 2 bis 15 noch einmal ohne Lösungen. Vergleiche erst am Ende.

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